Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 2023

Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm $n>1$ bileşik tam sayılarını belirleyiniz :

$d_1,d_2,...,d_k$ sayıları $n$ sayısının tüm pozitif bölenleri ve $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$ ise her $1 \leq i \leq k-2$ için $d_i$ sayısı $d_{i+1}+d_{i+2}$ sayısını böler.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|AB|<|AC|$ olsun. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ olsun. $\Omega$ çemberinin $A$ noktasını içeren $CB$ yayının orta noktası $S$ olsun. $A$ dan $BC$ ye inilen dikme $BS$ ile $D$ noktasında ve $\Omega$ ile ikinci kez $E \neq A$ noktasında kesişiyor. $D$ noktasından geçen ve $BC$ doğrusuna paralel olan doğru $BE$ doğrusu ile $L$ noktasında kesişiyor. $BDL$ üçgeninin çevrel çemberi $\omega$ olsun. $\omega$ ile $\Omega$ ikinci kez $P \neq B$ noktasında kesişiyor.
$\omega$ çemberine $P$ noktasında teğet olan doğrunun $BS$ doğrusu ile $\angle{BAC}$ açısının iç açıortayı üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

$k \geq 2$ tam sayı olsun. Aşağıdaki şartı sağlayan tüm $a_1,a_2,...$ sonsuz pozitif tam sayı dizilerini belirleyiniz :

$a_1,a_2,...$ dizisi için öyle bir $P$ polinomu vardır ki $c_0,c_1,...,c_{k-1}$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+ \cdots + c_1x + c_0$ formundadır ve her $n\geq 1$ tam sayısı için
$$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$$
koşulu sağlanır.

Herhangi ikisi birbirinden farklı olan $x_1,x_2,\dots, x_{2023}$ pozitif gerçel sayıları için,
$$a_n=\sqrt{(x_1+x_2+ \cdots +x_n) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} \right)}$$
sayısı her $n=1,2,\dots ,2023$ için bir tam sayıdır. Buna göre, $a_{2023} \geq 3034$ olduğunu gösteriniz.

$n$ bir pozitif tam sayı olsun. Bir Japon üçgeni, $1+2+ \cdots +n$ adet çemberin, eşkenar üçgen şeklinde ve her $i=1,2,...,n$ için $i.$ satırda tam olarak bir tanesi kırmızı olan $i$ tane çember bulunacak şekilde yerleştirilmesiyle oluşmaktadır. Japon üçgenindeki bir ninja yolu, en tepedeki çemberden başlayıp her defasında bulunduğu çemberin hemen altındaki iki çemberden birine giderek en alt satırda biten, $n$ adet çemberden oluşan bir dizidir. Aşağıda, $n=6$ durumunda bir Japon üçgeni ve iki adet kırmızı çember içeren bir ninja yolunun örneği verilmiştir :


Her Japon üçgeninde en az $k$ adet kırmızı çember içeren bir ninja yolu bulunuyorsa, $k$ sayısının alabileceği en büyük değeri $n$ cinsinden belirleyiniz.

$ABC$ bir eşkenar üçgen olsun. $A_1,B_1,C_1$ noktaları $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $|BA_1|=|A_1C|,\ |CB_1|=|B_1A|,\ |AC_1|=|C_1B|$ ve
$$\angle{BA_1C} + \angle{CB_1A} + \angle{AC_1B} = 480^{\circ}$$
olacak şekilde alınıyor. $BC_1$ ve $CB_1$ doğruları $A_2$ noktasında, $CA_1$ ve $AC_1$ doğruları $B_2$ noktasında, $AB_1$ ve $BA_1$ doğruları $C_2$ noktasında kesişiyor.

$A_1B_1C_1$ çeşitkenar üçgen ise, öyle iki nokta bulunduğunu gösteriniz ki $AA_1A_2,\ BB_1B_2$ ve $CC_1C_2$ üçgenlerinin her birinin çevrel çemberi bu iki noktadan da geçer.