$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $BC,CA,AB$ kenarlarına sırasıyla $D,E,F$ noktalarında teğettir. $EF$ doğrusu üzerinde bulunan bir $X$ noktası için,
$$\angle{XBC} = \angle{XCB}=45^{\circ}$$
eşitliğinin sağlandığını varsayalım. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinde $A$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $M$ olsun. $MD$ doğrusunun $E$ veya $F$ noktasından geçtiğini gösteriniz.
(İngiltere)
Çözüm:
Genelliği bozmadan $90\geq \angle{B}>\angle{A}>\angle{C}$ alalım. $\overline{D,F,M}$ olduğunu ispatlamalıyız. $XM\perp BC$ olduğu açıktır. $\overline{F,D,M}$ olduğunu varsayarsak $$\angle BFD=\angle BDF=90^\circ-\frac{\angle B}{2}=\angle{CDM}=\angle{CIM}$$ dolayısıyla $IDMC$ çembersel ve $\angle{AMC}=\angle B=90^\circ$ olur. Aslında ispatlamak istediğimiz şey bahsi geçen $X$ noktası varsa üçgenin dik olduğudur. Önce dik üçgenin sağladığını daha sonra ötekilerin sağlamadığını gösterelim.
$\angle{B}=90^\circ$
$EF\cap BI=X$ olur. $X$'in $BC$'nin kenar orta dikmesi üzerinde olduğunu göstermek yeterli. $BC$'nin orta noktası $R$,$RX\cap AC=Y$ olsun. $X$'i hipotenusu $BC$ olan $45-45-90$ üçgeninin tepesi olarak alalım. $\overline{X,E,F}$ olduğunu, $AEF$ ikizkenar ve $AB||XY$ olduğundan $EX=EY$ olduğunu ispatlamalıyız. Eşit uzunlukları kullanırsak $$XY=XR-YR=\frac{BC-AB}{2}=\frac{CE-AE}{2}=EY\blacksquare$$
Deminki üçgenimizde $AC$ üzerinde $B$'den başka $\overline{X,E',F'}$ olmasını sağlayan $A'$ olmadığını ispatlayalım. $A'\in [AC]$ olsun. $\overline {C,I',I}$ oldugu açıktır. $A',C$'ye yaklaştığında $\angle EXE'$ artar ve $\angle AE'X$ azalır. Benzer şekilde $\angle{BA'E'}$ artar ve $AE'F'$ ikizkenar üçgeninde $\angle{A'F'E'}=\angle{A'E'F'}$ değerleri azalır. Bu yüzden $\angle{E'F'X}=\angle{AE'X}+\angle{AE'F'}$ azalır ve $<180^\circ$ olur. Doğrusallık bozulur. $A'$ $[AC]$ üzerinde değilsede benzer şekilde açı $>180^\circ$ olur. Sonuç olarak $X$ noktası var ise üçgen dik açılıdır ve üçgen dik açılırsa $\overline{D,F,M}$'dır. $\blacksquare$