Geomania.Org Forumları

Her $x,y \in \mathbb R$ için,
$$xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x))$$
koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $BC,CA,AB$ kenarlarına sırasıyla $D,E,F$ noktalarında teğettir. $EF$ doğrusu üzerinde bulunan bir $X$ noktası için,
$$\angle{XBC} = \angle{XCB}=45^{\circ}$$
eşitliğinin sağlandığını varsayalım. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinde $A$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $M$ olsun. $MD$ doğrusunun $E$ veya $F$ noktasından geçtiğini gösteriniz.

Her $n$ pozitif tam sayısı için $\omega (n)$ ile $n$ nin farklı asal bölenlerinin sayısını gösterelim (örneğin, $\omega (1)=0$ ve $\omega (12)=2$). Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm tam sayı katsayılı $P(x)$ polinomlarını bulunuz :

$\omega (n) > 2023^{2023}$ koşulunu sağlayan her n pozitif tam sayısı için, $P(n)$ de pozitif tam sayıdır ve
$$\omega (n) \geq \omega (P(n))$$
eşitsizliği sağlanmaktadır.

Aşağıdaki koşulu sağlayan en büyük $k \leq 2023$ tam sayısını bulunuz :

Melek, $\{1,2,...,2023\}$ kümesinden tam olarak $k$ adet sayıyı kırmızıya nasıl boyarsa boyasın, Sena kalan boyanmamış sayılardan bazılarını maviye; kırmızı sayıların toplamı mavi sayıların toplamına eşit olacak biçimde boyayabilir.