Genç Balkan Matematik Olimpiyatı - 2023

$a!+b$ ve $b!+a$ sayılarının her ikisinin de $5$'in kuvveti olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

Negatif olmayan (hepsi birden $0$'a eşit değil) tüm $x,y,z$ reel sayıları için aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız :
$$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z} \geq 3$$
Eşitlik durumunu sağlayan tüm $(x,y,z)$ üçlülerini belirleyiniz.

Aslı ve Berk, başlangıçta boş olan $100 \times 100$ bir satranç tahtası üzerinde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor. Sırası gelen $1$'den $100^2$'e kadar daha önce hiçbir birim karede yazılmamış bir tam sayı ile boş bir birim kare seçiyor ve bu sayıyı seçilen birim kareye yerleştiriyor. Hiç boş birim kare kalmadığında, Aslı her satırdaki sayıların toplamını hesaplıyor ve bu toplamların en büyüğü, Aslı'nın puanı oluyor. Berk her sütundaki sayıların toplamını hesaplıyor ve bu toplamların en büyüğü, Berk'in puanı oluyor. Aslı'nın puanı Berk'in puanından büyükse Aslı kazanıyor, Berk'in puanı Aslı'nın puanından büyükse Berk kazanıyor. Aksi takdirde kimse kazanmıyor. Oyunculardan birinin kazanma stratejisi olup olmadığını ve varsa hangi oyuncunun kazanma stratejisi olduğunu bulunuz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $A$'dan $BC$'ye indirilen yükseklik ayağı $D$ ve $OD$'nin orta noktası $M$ olsun. $AOC$ ve $AOB$ üçgenlerinin çevrel çember merkezleri sırasıyla $O_b$ ve $O_c$ olmak üzere $AO=AD$ ise $A,O_b,M$ ve $O_c$ noktalarının çembersel olduğunu ispatlayınız.