$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun iç bölgesindeki bir $T$ noktası için $\angle ATD = \angle CTB$ dir. $AT$ doğrusu $ACD$ nin çevrel çemberini ikinci kez $K$ de, $BT$ doğrusu $BCD$ nin çevrel çemberini ikinci kez $L$ de kesiyor. $KL \parallel AB$ olduğunu gösteriniz.

$n$ öğrencinin bulunduğu bir okulda her öğrencinin tam olarak $2023$ arkadaşı olup birbiriyle arkadaş olmayan herhangi iki öğrencinin tam olarak $2022$ ortak arkadaşı vardır. Buna göre, $n$ nin alabileceği tüm değerlerini bulunuz.

Her $n>1$ tam sayısı için, $n$ nin kendisi dışındaki en büyük böleni $f(n)$ olsun. Bir $k$ pozitif tam sayısı için $$n-f(n)=k$$ eşitliğini sağlayan $n$ tam sayılarının sayısı $2023$ olabilir mi?

$k$ bir pozitif tamsayı olmak üzere, $S$ kümesinin her elemanı $k$ elemanlı bir kümedir. Her $A,B\in S$ ve $A\neq B$ için $A \triangle B \in S$ olduğu biliniyor. $|S|=1023$ ve $|S|=2023$ durumlarının her birinde $k$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Not: $A\triangle B=(A\backslash B) \cup (B\backslash A)$ dir.

Bir çeşitkenar $ABC$ üçgeninde çevrel çemberin merkezi $O$, iç teğet çemberin merkezi $I$, diklik merkezi $H$ olsun. $O$ dan geçip $IH$ ye $I$ da teğet olan çember ile $H$ den geçip $IO$ ya $I$ da teğet olan çemberin ikinci kesişimi $M$ olsun. $M$ noktasının $ABC$ nin çevrel çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.

$a,b,c,d$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $$\dfrac{(a^2+b^2+2c^2+3d^2)(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir $\{a_1, a_2, \dots \}$ tam sayı dizisi, bir $f:\mathbb{Z^+}\Leftrightarrow \mathbb{Z^+}$ fonksiyonu ve tüm $i,j,n$ pozitif tam sayıları için $$a_{i}\equiv a_{j} \pmod {n}\quad \Leftrightarrow \quad i\equiv j \pmod{f(n)}$$ olmasını sağlıyorsa, bu diziye iyi dizi diyelim. Tüm iyi dizileri bulunuz.

Tahtada başlangıçta $$*\dfrac{1}{x-1}*\dfrac{1}{x-2}*\dfrac{1}{x-4} \cdots*\dfrac{1}{x-2^{2023}}=0$$ yazılıdır. Aslı başlamak üzere, Aslı ve Zehra sırayla tahtadaki yıldızlardan birini silip yerine $+$ veya $-$ işaretlerinden birini yazıyor. Aslı, tüm yıldızların yerine işaretler konulduktan sonra oluşan denklemin gerçel çözümlerinin sayısının en çok kaç olmasını grantileyebilir?

Bir $\Gamma$ çemberi üzerinde verilen sırada yer alan $A$, $B$, $K$, $L$, $X$ noktaları için $\stackrel{\LARGE{\frown}}{BK}$ ve $\stackrel{\LARGE{\frown}}{KL}$ yayları eşit ölçüdedir. $A$ dan geçip $BK$ ye $B$ de teğet olan çember $KX$ doğru parçasını $P$ ve $Q$ da kesiyor. $A$ dan geçip $BL$ ye $B$ de teğet olan çember ise $BX$ doğru parçasını ikinci kez $T$ de kesiyor. $\angle PTB = \angle XTQ$ olduğunu gösteriniz.