Geomania.Org Forumları

Sonsuz çoklukta $k$ pozitif tam sayısı için $$\dfrac{n^2+m^2}{m^4+n}=k$$ olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayılarının bulunmadığını gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $BPC$ üçgeninin çevrel çemberine $P$ noktasında içten teğet olan $\omega_A$ ve dıştan teğet olan $\Gamma_A$ çemberleri, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de sırasıyla $A_1$ ve $A_2$ noktalarında içten teğettir. $B_1$, $B_2$ ve $C_1$, $C_2$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çember merkezi olmak üzere, $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ ve $OP$ doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

Rakamlarının biri $1$, biri $2$, $\dots$, biri $9$ olan $9$ basamaklı tüm sayılara dengeli sayı diyelim. Tüm dengeli sayıların yan yana ve küçükten büyüğe doğru yazılarak oluşturduğu rakam dizisi $S$ olsun. $S$ dizisindeki $k$ ardışık terimden oluşan herhangi iki alt dizinin birbirinden farklı olmasını sağlayan en küçük $k$ değerini bulunuz.

Başlangıçta tahta üzerinde her birinin $31$ koordinatı olan $31$ adet $$(1,0, 0, \dots, 0), \ (0,1,0, \dots, 0), \ \dots , \ (0,0,0, \dots, 1)$$ $31$-lileri yazılmıştır. Her işlemde, tahtada bulunan $(a_1, a_2, \dots, a_{31})$ ve $(b_1, b_2, \dots, b_{31})$ $31$-lileri seçiliyor ve $(a_1 + b_1, a_2 + b_2 ,\dots, a_{31} + b_{31} )$ $31$-lisi de tahtaya yazılıyor. En az kaç işlem sonucunda tahtada $$(0,1, 1, \dots, 1), (1,0,1, \dots, 1), \dots , (1,1,1, \dots, 0)$$ $31$-lilerinin tümü yer alabilir?

$23$ gerçel sayıdan oluşan bir kümenin, boş olmayan ve elemanlarının çarpımı rasyonel sayı olan alt kümelerinin sayısı tam olarak $2422$ olabilir mi?

Bir $ABC$ üçgeninin $BC$, $AC$, $AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$, $E$, $F$ noktaları $DE \parallel AB$, $DF \parallel AC$ ve $\dfrac {|BD|}{|DC|} = \dfrac {|AB|^2}{|AC|^2}$ olacak şekilde alınıyor. $AEF$ üçgeninin çevrel çemberi, $AD$ doğrusu ile ikinci kez $R$ noktasında ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasından çizilen teğet ile ikinci kez $S$ noktasında kesişiyor. $EF$ doğrusu, $BC$ ve $SR$ doğruları ile sırasıyla $L$ ve $T$ noktalarında kesişiyor. $SR$ doğrusunun $[AB]$ doğru parçasını ortalaması için gerek ve yeter koşulun $BS$ doğrusunun $[TL]$ doğru parçasını ortalaması olduğunu gösteriniz.