1
Masa üzerinde $1,2,\dots,n$ sayılarıyla numaralandırılmış $n$ tane boş kırmızı ve $1,2,\dots,n$ sayılarıyla numaralandırılmış $n$ tane boş beyaz kutu bulunuyor. Her işlemde renkleri farklı olan iki kutuya birer top yerleştiriliyor. Birkaç işlemden sonra numaraları aynı olan herhangi kırmızı ve beyaz kutu ikilisi için, ya kırmızı kutuda beyaz kutudan $6$ fazla ya da beyaz kutuda kırmızı kutudan $16$ fazla top varsa, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.
2
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $BAD$ ve $CAD$ üçgenlerinin iç teğet çember merkezleri sırasıyla $I$ ve $J$ olsun. $I$ noktasından geçen ve $BD$ doğrusuna dik olan ve $J$ noktasından geçen ve $AC$ doğrusuna dik olan doğrunun kesişim noktası $K$ olsun. $|KI|=|KJ|$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
İç açıortay özelliğinden $\angle AID = 90^\circ + \dfrac {\angle ABD} 2$, $\angle AJD = 90^\circ + \dfrac {\angle ACD}{2}$ ve kirişler dörtgeni özelliğinden $\angle ABD = \angle ACD$ olduğu için $\angle AID = \angle AJD$, yani $A, I, J, D$ noktaları çemberseldir.
Açıortaydan $\angle CAJ = \angle JAD$, çembersellikten $\angle JID = \angle JAD$, yani $$\angle CAJ = \angle JID \tag {1}$$
Benzer şekilde $$\angle BDI = \angle IDA = \angle IJA \tag{2}$$
Basit açı hesaplarıyla,
$$\angle KJI + \angle IJA = \angle AJK = 90^\circ - \angle CAJ \Rightarrow \angle KJI = 90^\circ - \angle CAJ - \angle IJA \tag{3}$$
Benzer şekilde $$\angle KIJ + \angle JID = \angle DIK = 90^\circ - \angle BDI \Rightarrow \angle KIJ = 90^\circ - \angle JID - \angle BDI \tag{4}$$
$(1)$ ve $(2)$ deki eşitlikleri $(3)$ ve $(4)$ te yerine koyarsak $\angle KJI = \angle KIJ$, yani $KI = KJ$ olacaktır.
3
$m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere, $$\frac{n^4+m}{m^2+n^2} \text { ve } \frac{n^4-m}{m^2-n^2}$$ sayılarının aynı anda tam sayı olamayacağını gösteriniz.
Çözüm:
$n^4 + m = n^4 - m^4 + m^4 + m = (n^2-m^2)(n^2 + m^2) + m(m^3 + 1)$ eşitliğini kullanırsak $$m^2 + n^2 \mid n^4 + m \Rightarrow m^2 + n^2 \mid m(m^3 + 1) \tag{1}$$
$m$ nin hiçbir pozitif böleni $m^2 + n^2$ yi bölmeyeceği için $m$ ile $m^2+n^2$ de aralarında asaldır. Bu durumda $(1)$ den $$m^2 + n^2 \mid m^3 +1 \tag{2}$$ elde ederiz.
$n^4 - m = n^4 - m^4 + m^4 - m = (n^2-m^2)(n^2 + m^2) + m(m^3 - 1)$ eşitliğini kullanırsak $$m^2 - n^2 \mid n^4 - m \Rightarrow m^2 - n^2 \mid m(m^3 - 1) \tag{3}$$ olacaktır. $m$ nin hiçbir pozitif böleni $m^2 - n^2$ yi bölmeyeceği için $m$ ile $m^2 - n^2$ de aralarında asaldır. Bu durumda $(3)$ ten $$m^2 - n^2 \mid m^3 - 1 \tag{4}$$ elde ederiz.
Benzer mantıkla, $m^3 - 1 = m(m^2 - n^2) + mn^2 - 1$ olduğu için $m^2 - n^2 \mid mn^2 - 1$ ve $m^3 + 1 = m(m^2 + n^2) - mn^2 + 1 = m(m^2 + n^2) - (mn^2 - 1)$ olduğu için $m^2 + n^2 \mid mn^2 - 1$ olacaktır.
$m^2 - n^2$ ile $m^2 + n^2$ sayılarının en büyük ortak böleni $1$ ya da $2$ dir.
Bunu görmek için $m^2 + n^2 = dk_1$ ve $m^2 - n^2 = dk_2$ şeklinde yazıp sistemi çözelim: $2m^2 = d(k_1 + k_2)$ ve $2n^2 = d(k_1 - k_2)$.
Bu durumda $d>2$ olduğunda $d \mid 2m^2$ ve $d \mid 2n^2$ olacak. Bu da $m$ ve $n$ nin aralarında asallığı ile çelişecek.
$m^2 + n^2 \mid mn^2 - 1$, $m^2 - n^2 \mid mn^2 - 1$ olduğu için
$\text{obeb} (m^2 + n^2, m^2 - n^2) = 1$ ise $(m^2 + n^2)(|m^2 - n^2|) \mid (mn^2 - 1)$,
$\text{obeb} (m^2 + n^2, m^2 - n^2) = 2$ ise $(m^2 + n^2)(|m^2 - n^2|) \mid 2(mn^2 - 1)$.
Sorudaki $m^2 - n^2$ paydasının tanımlı olması için $m^2 - n^2 \neq 0 \Longrightarrow m \neq n$ olacaktır. Bu durumda $m=n$ durumu kapsam dışı.
O halde $mn^2 > 1$ olduğu için $|m^4 - n^4| \leq 2(mn^2 - 1)$ olacaktır.
$m > n$ durumunda $m^4 - (m-1)^4 \leq m^4 - n^4 \leq 2(mn^2 - 1) \leq 2(m^3 - 1)$.
$n > m$ durumunda $n^4 - (n-1)^4 \leq n^4 - m^4 \leq 2(mn^2 - 1) \leq 2(n^3 - 1)$.
İki eşitsizlik de aslında aynı.
$k = m$ ya da $k = n$ için çözersek $$\begin{array}{rcl}
k^4 - (k-1)^4 \leq 2k^3 - 2 &\Longrightarrow& 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \leq 2k^3 -2 \\
&\Longrightarrow & 2k^3 < 2k^3 + 4k + 1 \leq 6k^2 \\
&\Longrightarrow & k < 3
\end{array}$$ olacaktır. Yani $m$ ve $n$ den büyük olanı $3$ ten küçük olmalı. Bu durumda sadece $(m,n)=(2,1)$ ya da $(m,n) = (1,2)$ sıralı ikililerini denemek yeterli olacaktır. (Aslında $k<3$ değerleri yukarıdaki eşitliği bile sağlamaz.)
Bunların sağlamadığı ise kolayca görülebilir. Bu durumda sorudaki sayıların ikisi birden tam sayı olamaz.
4
$x_1,x_2,\dots,x_{31}$ gerçel sayılar olmak üzere,
$$\sum_{i,j=1,2,\dots,31, \ i\not=j} \lceil x_i x_j \rceil - 30 \left (\sum_{i=1,2,...,31} \lfloor x_i^2 \rfloor \right )$$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
Not. Bir $x$ gerçel sayısı için, $\lceil x \rceil$ ile $x$ sayısından küçük olmayan en küçük tam sayı, $\lfloor x \rfloor$ ile $x$ sayısını aşmayan en büyük tam sayı gösteriliyor: $\lceil 2.7 \rceil = 3$, $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ ve $ \lceil 4 \rceil = \lfloor 4 \rfloor = 4$.