Tübitak Lise 2. Aşama - 2001

Konveks bir $ABCD$ dörtgeninin $\lbrack AD\rbrack $ ve $\lbrack BC\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri bu dörtgenin iç bölgesindeki bir $P$ noktasında; $\lbrack AB\rbrack $ ve $\lbrack CD\rbrack $ kenarlarının orta dikmeleri de dörtgenin iç bölgesindeki bir $Q$ noktasında kesişiyor. $\widehat{APD}=\widehat{BPC}$ ise, $\widehat{AQB}=\widehat{CQD}$ olduğunu gösteriniz.

Bir $(x_n)_{-\infty < n < \infty}$ gerçel sayı dizisi, her $n$ tam sayısı için, $$x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+10}{7}$$ bağıntısını sağlıyor. Bütün $n$ tam sayıları için $x_{n} < M$ olmasını sağlayan bir $M$ gerçel sayısı varsa, $x_0$ teriminin alabileceği tüm değerleri bulunuz.

Aynı büyüklükteki $n$ parçadan oluşan bir keki, her parçayı en çok bir kez keserek, $k$ kişi arasında eşit olarak paylaştırmak istiyoruz. $n$ nin pozitif bölenlerinin sayısı $d(n)$ ile gösterilmek üzere; $k$ nin böyle bir paylaşımı olanaklı kılan değerlerinin sayısının $n+d(n)$ olduğunu gösteriniz.

$3^{x}+11^{y}=z^{2}$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z)$ sıralı pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.

$A$ noktasından geçen ve biribirine dik olmayan iki doğru ile bu doğrulardan birinin üstünde $A$ dan farklı bir $F$ noktası verilmiş olsun. $A$ ve $F$ noktalarından geçen ve ikinci doğruyu $A$ dan farklı bir $G$ noktasında daha kesen çemberin $F$ ve $G$ deki teğetlerinin kesişim noktası $P_{G}$ ise, $P_{G}$ nin geometrik yerini bulunuz.

$n\times n$ bir santranç tahtasının birim karelerini, her $i \in \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace $ için $i$ inci satır ve $i$ inci sütundaki toplam $2n-1$ kare farklı renklerde olacak biçimde, $k$ renk kullanarak boyamak istiyoruz.

• $n=2001$ ise, $k=4001$ için böyle bir boyama işleminin yapılamayacağını gösteriniz.
• $n=2^{m}-1$ ise, $k=2^{m+1}-1$ için bu işlemin gerçekleştirilebileceğini kanıtlayınız.