Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2005

$0<a_1<a_2< \cdots < a_{2005}$ tam sayılar olmak üzere, $A=\{a_1,a_2,...,a_{2005} \}$ olsun. $A$'nın özalt kümelerinin hiçbirindeki sayıların toplamı $2005$'e bölünmesin. Bu durumda, $a_1+a_2+ \cdots +a_{2005}$ toplamının $2005$'e bölündüğünü gösteriniz.

$m,n,k$ pozitif tam sayılar ve $\dfrac{m\sqrt5+n}{n\sqrt5+k}$ sayısı da bir rasyonel sayı olsun. Buna göre,

$a)\ m+k \geq 2n$ olduğunu gösteriniz.

$b)\ (m^2+n^2+k^2)$ sayısının $(m+n+k)$ sayısına tam bölündüğünü gösteriniz.

$x_1,x_2,x_3,...,x_{15},x_{16}$ reel sayıları için
$$|x_1-x_2+x_3-x_4+ \cdots +x_{15}-x_{16}| \leq \sqrt{17-(x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_{16}^2)}$$
eşitsizliği sağlandığına göre, her $k=1,2,...,16$ için $|x_k| \leq 4$ olacağını gösteriniz.

$OKEK(x,y)=\dfrac13(x^2-4y)$ denkleminin pozitif tam sayılarda tüm çözümlerini bulunuz.

(Not : $OKEK(x,y)$ simgesi $x$ ve $y$ sayılarının ortak katlarının en küçüğünü göstermektedir.)

Şekilde, $ABCD$ kirişler dörtgeni olup, $E \in [AB]$ ve $F \in [CD]$ noktaları, $\dfrac{|AE|}{|EB|}=\dfrac{|CF|}{|FD|}$ sağlanacak biçimde alınmıştır. $[EF]$ üzerinde alınmış $P$ noktası için $\dfrac{|EP|}{|PF|}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$ eşitliğinin sağlandığını varsayalım. Bu takdirde, $P$ noktasının $\widehat{ASB}$ açısının açıortayı üzerinde bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

Verilen koşul incelendiğinde
$$\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{EB}{FD}=\dfrac{AE+EB}{CF+FD}=\dfrac{AB}{CD}$$
elde edilir. Ayrıca $ABCD$ kirişler dörtgeni ise
$$\dfrac{SC}{SA}=\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CF}{AE}$$
olur, dolayısıyla $\triangle SCF\sim \triangle SAE$ yani $\angle ASE=\angle FSC$ dir. Bu ise $\angle FSA=\angle ESC$ demektir. Dolayısıyla $PS$ doğrusunun $\angle FSE$ açısının iç açıortayı olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Az önce elde edilen benzerlikle gösterelim
$$\dfrac{SF}{SE}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EP}{PF}$$
olduğundan $\angle FSP=\angle PSE$ ve $\angle ASP=\angle PSB$ olur. Ek olarak spiral benzerlikten $\triangle SAC\sim \triangle SEF$ olduğu da elde edilebilirdi.

Kaynak: Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları ve Çözümleri

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2005 - Lise 1 Çözümleri