$10 \times 10$ karelik bir tablonun her karesine $10$'dan büyük olmayan bir pozitif tam sayı yazılmıştır. Öyle ki, ortak bir kenarı veya ortak bir köşesi olan herhangi iki karedeki sayılar aralarında asaldır. Tabloda, en az $17$ kez tekrarlı yazılmış bir sayının bulunduğunu gösteriniz.

Aşağıdaki şekilde $ABC$, çevre uzunluğu $2p$ olan herhangi bir üçgendir. $DE$ parçası içteğet çembere teğet olup, $DE // AC$ dir. $DE$'nin uzunluğunun en fazla $\dfrac{p}{4}$ olabileceğini kanıtlayınız.

Her $x,y \in \mathbb{R}$ için
$$f(x+y)-f(y)=g(y)f(x)$$
eşitliğini sağlayan ve kesin artan $f: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun varlığını garanti eden $g: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarının hepsini bulunuz.

$r_1,r_2,...,r_{110},r_{111}$ rasyonel sayıları, her $n$ pozitif tam sayısı için
$$\{n . r_1\} + \{n . r_2\}+ ... + \{n . r_{110}\}+ \{n . r_{111}\} < 55,5$$
eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda :

a) $r_1,r_2,...,r_{111}$ sayılarından en az birinin tam sayı olduğunu gösteriniz.

b) $55,5$ yerine $55,55$ alındığında, a) şıkkındaki iddianın doğru olmadığını gösteriniz.

(Yukarıda, $\{x\}$ ifadesi $x$'in kesir kısmı olup, $\{x\}=x-\left[ x \right]$ olarak tanımlanır.)

a) $a_0,a_1,...,a_{99},a_{100}$ pozitif sayılar olsun. $a_0=1$ ve $a_{100} \leq \dfrac{1}{2^{100}}$ ise,
$$\dfrac{a_0^2}{a_1}+\dfrac{a_1^2}{a_2}+...+\dfrac{a_{99}^2}{a_{100}} \geq 4 \left ( 1- \dfrac{1}{2^{100}} \right)$$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

b) $a_0=1$ ve $a_{100}=\dfrac{1}{2^{100}}$ olmak üzere,
$$\dfrac{a_0^2}{a_1}+\dfrac{a_1^2}{a_2}+...+\dfrac{a_{99}^2}{a_{100}} = 4 \left ( 1- \dfrac{1}{2^{100}} \right)$$
eşitliğini sağlayan pozitif $a_1,a_2,...,a_{99}$ sayıları bulunuz.