Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2004

1

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m^2+mn+n^2$ sayısının son basamağı sıfır ise, sondan ikinci basamağının da sıfır olduğunu gösteriniz.

2

$x>0$ ve $y>\dfrac12+x$ olmak üzere, $x$ ve $y$ reel sayıları $x^{30}+y^{30}=1$ denklemini sağlasın. $y$ sayısının ondalık kesir biçimindeki yazılımında virgülden sonra ilk $9$ basamağın $9$ olduğunu gösteriniz.

3

$p$ bir asal sayı ve $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $np+1$ sayısı bir tamkare ise, $n+1$ sayısının $p$ tane tamkarenin toplamı biçiminde yazılabileceğini gösteriniz
(tamkarelerin farklı olması gerekmiyor).

4

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme $B$ açısının açıortayını $E$ noktasında ve $[AB]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme ise $B$ açısının açıortayını $F$ noktasında kesiyor(şekilden izleyiniz). $B$ açısının açıortayının çevrel çemberle kesişim noktası $G$ olsun. $|BE|=|FG|$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm 1:

Orta dikmeler üçgenin çevrel merkezinde, $O$ da kesişir.
$\angle OEF = 90^\circ -\angle EBC =90^\circ -\angle EBA = \angle OFB$ olduğu için $OE=OF$.
$O$ dan $EF$ ye inilen dikme hem $EF$ yi hem de $BG$ yi ortalayacağı için $BE=FG$ dir.

Çözüm 2:

$\angle AFG = 2\angle ABF= \angle ABC$,
$\angle CEG = 2\angle CBE= \angle CBA = \angle AFG$,
$\angle FGA = \angle BCA$,
$\angle EGC =\angle BAC$.
$AG=GC$ olduğu için $\triangle FGA \cong \triangle ECG$.
$FG = EC=BE$.

5

Dokuz doğrunun her biri, verilen bir kareyi, alanlar oranı $\dfrac15$ olan iki yamuğa ayırıyor. Bu dokuz doğrudan en az üçünün bir noktadan geçtiğini gösteriniz.

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2004 - Lise 1 Çözümleri