$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m^2+mn+n^2$ sayısının son basamağı sıfır ise, sondan ikinci basamağının da sıfır olduğunu gösteriniz.

$x>0$ ve $y>\dfrac12+x$ olmak üzere, $x$ ve $y$ reel sayıları $x^{30}+y^{30}=1$ denklemini sağlasın. $y$ sayısının ondalık kesir biçimindeki yazılımında virgülden sonra ilk $9$ basamağın $9$ olduğunu gösteriniz.

$p$ bir asal sayı ve $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $np+1$ sayısı bir tamkare ise, $n+1$ sayısının $p$ tane tamkarenin toplamı biçiminde yazılabileceğini gösteriniz
(tamkarelerin farklı olması gerekmiyor).

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme $B$ açısının açıortayını $E$ noktasında ve $[AB]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme ise $B$ açısının açıortayını $F$ noktasında kesiyor(şekilden izleyiniz). $B$ açısının açıortayının çevrel çemberle kesişim noktası $G$ olsun. $|BE|=|FG|$ olduğunu gösteriniz.

Dokuz doğrunun her biri, verilen bir kareyi, alanlar oranı $\dfrac15$ olan iki yamuğa ayırıyor. Bu dokuz doğrudan en az üçünün bir noktadan geçtiğini gösteriniz.