$xyz=1$ eşitliğini sağlayan her pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları için
$$\dfrac{2x^2y^2}{x+y}+\dfrac{2y^2z^2}{y+z}+\dfrac{2z^2x^2}{z+x} \geq 3 $$
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

$x,y$ ve $z$ tam sayıları
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=3$$
eşitliğini sağlarsa, $xyz$ çarpımının bir tam sayının küpü olduğunu gösteriniz.

Şekilde $|BC|=2|AC|,\ m(\widehat{CAE})=m(\widehat{CBA})$ ve $m(\widehat{FCE})=m(\widehat{ECB})$ olarak verilmiştir. Buna göre, $|AE|=|AB|$ olduğunu gösteriniz.

Yazı tahtasında bir kaç pozitif tam sayı yazılmıştır. Bu sayılardan herhangi iki tanesi seçilerek siliniyor ve tahtaya onların OBEB'i ile OKEK'i yazılıyor. Yine tahtadan herhangi iki sayı alınarak aynı işlem tekrarlanıyor. Bu işlem öyle sürdürülebilir ki, birkaç adımdan sonra tahtadaki hangi sayı ikilisi alınırsa alınsın, bu sayılar silinip yerine yazılacak sayı ikilisi, silinen ikilinin aynısı olacaktır. Kanıtlayınız.

$\mathbb{R}^+ =\{ x \in \mathbb{R} : x>0 \}$ olmak üzere, her $x,y \in \mathbb{R}^+$ için
$$f(xf(y))-f(xy)=x$$
bağıntısını sağlayan $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ fonksiyonlarını bulunuz.