Tübitak Kamp Sınavları - 2004 - Lise Yaz
1
Her $x,y \in \mathbb{R}^+$ için
$$f(x)f(y)=f(xy)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$
eşitliğini sağlayan tüm $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.
Not: Bu soru 2005 yılında Küba Matematik Olimpiyatlarında da sorulmuş
2
Her $a$ tam sayısı için
$$a^{\phi(n)+1} \equiv a\pmod{n}$$
koşulunu sağlayan tüm $n \geq 2$ tam sayılarını bulunuz.
3
$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O,$ içteğet çemberinin merkezi $I$ ve $m(\widehat{OIA})=30^{\circ}$ ise $\widehat{B}$ ve $\widehat{C}$ açılarından birinin $60^{\circ}$ olduğunu ispatlayınız.
4
$n>3$ tam sayısı için $x_1,x_2,...,x_n$ pozitif reel sayılarının çarpımı $1$'dir.
$$\dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+ \ldots + \dfrac{1}{1+x_n+x_nx_1}>1$$
olduğunu gösteriniz.
5
$n \times n$ satranç tahtasının birim kareleri başlangıçta satranç tahtasındaki gibi siyah beyaz boyanmışlardır. Her adımda $2 \times 2$ bir karenin içindeki siyah kareleri beyaza, beyaz kareleri de siyaha çeviriyoruz. $n$'nin hangi değerleri için tüm kareleri aynı renk yapabiliriz?