Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2002

1

$a,b,c$ ve $x>1,\ y>1,\ z>1$ sayıları
$$\left. \begin{align*} xy + 1 \quad &= \quad az \\ yz + 1 \quad &= \quad bx \\ zx + 1 \quad &= \quad cy \end{align*} \right\}$$
eşitliklerini sağlayan pozitif tam sayılar olsun. Bu takdirde $a,b$ ve $c$ sayılarının en büyüğü kaçtır?

2

$2a_n+a_{n-1},\ (n=1,2,3,...)$ dizisinin sınırlı olması halinde $a_n,\ (n=0,1,2,...)$ dizisinin de sınırlı olacağını gösteriniz.

3

Düzlem üzerinde, herhangi üçü doğrusal olmayan $2002$ tane nokta işaretlenmiştir. Öyle $3$ işaretlenmiş nokta bulunabilir ki, bu noktalardan geçen çember, işaretlenmiş noktalardan hiçbirini içinde bulundurmasın; kanıtlayınız.

4

$a,b,p,q,r,s$ pozitif tam sayıları
$$qr-ps=1\quad \text{ve}\quad \dfrac{p}{q}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{r}{s}$$
bağıntılarını sağlamaktadır. Bu durumda, $b \geq q+s$ eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

5

Bir $ABC$ üçgeninde $|BC|>2|AB|$ eşitsizliği sağlansın. Sadece pergel ve cetvel kullanarak, $[AC]$ kenarı üzerinde,
$$|AB|+|BD|+|DA|=|BC|$$
eşitliğini sağlayan $D$ noktasının yerini bulunuz.

NOT: Cetvel uzunluk ölçmeye değil, yalnızca herhangi iki noktadan geçen doğruyu çizmeye yarar.

Çözüm 1:

Bilgi: $PQR$ üçgeninin $P$ ye karşı çizilen dış teğet çemberi $PQ$ ya $T$ de değsin. $PT$ uzunluğu üçgenin yarıçevresi kadardır.

Doğru parçasının orta dikmesini çizme yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

$X$ ve $Y$ verilen iki nokta olsun.$X$ merkezli $XY$ yarıçaplı çember ile $Y$ merkezli $YX$ yarıçaplı çember $M$ ve $N$ noktalarında kesişsin. $MN$ $AB$ ye ait orta dikme doğrusudur.

Pergelin ucunu $BC=a$ kadar aç.
$A$ merkezli $a$ yarıçaplı çember $[AB$ ışınını $E$ de, $[AC$ ışınını $F$ kessin.
$AE$ nin ve $AF$ nin orta dikmeleri $G$ de keşissin.
$AE$ nin orta dikmesi $[AB$ yi $H$ de kessin.
$B$ merkezli $BH$ yarıçaplı çemberle, $G$ merkezli $GH$ yarıçaplı çember $T$ noktasında keşissin.
$[BT$ ışını $AC$ yi $D$ noktasında kessin.
$AB+BD+DA = 2AE = 2AF = BC$ dir.

Bu sayfada pergel ve cetvelle yapılabilen bazı çizimler yer alıyor. Bunları kullanarak da farklı çözümler yapılabilir.

Çözüm 2:

$A$ merkezli $BC$ yarıçaplı çember $AC$ yi $E$ de kessin.
$E$ merkezli $AB$ yarıçaplı çember $AC$ yi $F$ de kessin. $AF = BC - AB$ dir.
$BF$ nin orta dikmesi $AC$ yi $D$ de kessin. $AD+BD=AD+DF=AF=BC-AB$ olur.

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2002 - Lise 2 Çözümleri