Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2002 - Lise 2

$a,b,c$ ve $x>1,\ y>1,\ z>1$ sayıları
$$\left. \begin{align*}  xy + 1 \quad &= \quad az \\ yz + 1 \quad &= \quad bx \\ zx + 1 \quad &= \quad cy \end{align*} \right\}$$
eşitliklerini sağlayan pozitif tam sayılar olsun. Bu takdirde $a,b$ ve $c$ sayılarının en büyüğü kaçtır?

$2a_n+a_{n-1},\ (n=1,2,3,...)$ dizisinin sınırlı olması halinde $a_n,\ (n=0,1,2,...)$ dizisinin de sınırlı olacağını gösteriniz.

Düzlem üzerinde, herhangi üçü doğrusal olmayan $2002$ tane nokta işaretlenmiştir. Öyle $3$ işaretlenmiş nokta bulunabilir ki, bu noktalardan geçen çember, işaretlenmiş noktalardan hiçbirini içinde bulundurmasın; kanıtlayınız.

$a,b,p,q,r,s$ pozitif tam sayıları
$$qr-ps=1\quad \text{ve}\quad \dfrac{p}{q}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{r}{s}$$
bağıntılarını sağlamaktadır. Bu durumda, $b \geq q+s$ eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninde $|BC|>2|AB|$ eşitsizliği sağlansın. Sadece pergel ve cetvel kullanarak, $[AC]$ kenarı üzerinde,
$$|AB|+|BD|+|DA|=|BC|$$
eşitliğini sağlayan $D$ noktasının yerini bulunuz.

NOT: Cetvel uzunluk ölçmeye değil, yalnızca herhangi iki noktadan geçen doğruyu çizmeye yarar.