Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 2001 - Lise 2

$abcd=1$ eşitliğini sağlayan $a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için

$x=a+b+c+d,\ y=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$  ve $z=a^3+b^3+c^3+d^3$

olduğuna göre $x+y \leq 2z$ eşitsizliğini ispatlayınız.

Reel katsayılı $P(x)=x^3-ax^2+bx-1$ polinomunun $3$ pozitif reel kökü(eşit veya farklı) olduğu biliniyorsa, $a+b$ toplamının alabileceği en küçük değerin $6$ olduğunu ispatlayınız.

Tüm köşeleri tam sayı koordinatlı noktalarda bulunan herhangi bir kirişler çokgeninin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğunun karesi bir rasyonel sayıdır. İspatlayınız.

$x^{2001}-x$ ve $x^2-x$ tam sayı ise $x$'in de bir tam sayı olduğunu gösteriniz.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $3b^2-2a^2=1$ eşitliği sağlansın. $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $[a\sqrt2,b\sqrt3]$ aralığında
$$m\sqrt2+n\sqrt3$$
şeklinde hiçbir sayının bulunmadığını gösteriniz.