$n\ge 2$ bir tam sayı ve $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, $1,2,\ldots ,n$ sayılarının bir permütasyonu olmak üzere, gerçel eksen üstünde $1,2,...,n$ noktalarına sırasıyla $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ elma yerleştiriliyor. $A,B,C$ isimli çocuklara sırasıyla $x_{A},x_{B},x_{C} \in \lbrace 1,2,\ldots ,n\rbrace $ noktaları veriliyor. Her $k\in\{1,2,\dots, n\}$ için, kendilerine verilen noktalar $k$ ye en yakın olan çocuklar $a_{k}$ elmayı paylaşıyor. (Elmalar istenildiği kadar küçük parçalara ayrılabiliyor.) Çocuklardan hiçbiri, diğer ikisinin noktaları aynı kalmak üzere, topladığı elma miktarı eskisine göre kesin artacak biçimde kendisine $\{1,2,\dots, n\}$ kümesinde yeni bir nokta seçemiyorsa, $(x_{A},x_{B},x_{C})$ ye bir denge konumu diyoruz. $n$ nin hangi değerleri için, bir denge konumunun var olmasını sağlayan uygun bir $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ dağılımının bulunduğunu belirleyiniz.

Bir $A$ noktasında dıştan teğet olan iki çember, bir $\Gamma $ çemberine $B$ ve $C$ noktalarında içten teğettir. $\Gamma $ çemberinin küçük çemberlere $A$ noktasında teğet olan kirişinin orta noktası $D$ dir. Çemberlerin merkezleri doğrudaş değilse, $BCD$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinin $A$ olduğunu gösteriniz.

Çizge Hava Yolları (ÇHY), Çizge Cumhuriyeti'nin bazı kentleri arasında uçak seferleri düzenlemektedir. Her kentten en az üç farklı kente sefer vardır ve yalnızca ÇHY seferlerini kullanarak, Çizge Cumhuriyeti'nin herhangi bir kentinden başka bir kentine ulaşmak mümkündür. Bunu, yalnızca ÇHY seferlerini kullanarak herhangi bir kentten bir diğerine ulaşmanın hala mümkün kalacağı, ancak kentlerin en az $\dfrac{2}{9}$ undan sadece bir seferin olacağı bir şekilde yapmanın olanaklı olduğunu kanıtlayınız.

$0\le x,y<p$ ve $y^{2}\equiv x^{3}-x \pmod p$ koşullarını sağlayan $(x,y)$ sıralı tam sayı ikililerinin sayısının $p$ olmasına yol açan tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

Kenar uzunlukları $|BC|<|AC|<|AB|$ koşulunu sağlayan dar açlı bir $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $AC$ kenarları üzerinde sırasıyla $|BD|=|BC|=|CE|$ olacak biçimde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $ADE$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının, $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi ile çevrel çemberinin merkezi arasındaki uzaklığa eşit olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun ve $\mathbf{R}^n$ ile sıralı gerçel sayı $n$ lilerinin kümesini gösterelim.  $1,2,\dots, n$ sayılarının, her $i\in\{1,2,\dots, n-1\}$ için, $x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (i+1)}\ge 1$ eşitsizliğini sağlayan bir $\sigma $ permütasyonunun bulunduğu $\mathbf{R}^n$ ye ait $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ elemanlarının kümesini de $T$ ile gösterelim. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir $d$ gerçel sayısının bulunduğunu kanıtlayınız:
Her $(a_1,a_2,\dots, a_n)\in \mathbf{R}^n$ için,
$$a_{i}=\dfrac{1}{2}(b_{i}+c_{i}), \quad \vert a_{i}-b_{i}\vert \le d, \quad \vert a_{i}-c_{i}\vert \le d \quad (1 \leq i \leq n)$$ koşullarını yerine getiren $
(b_{1},\ldots ,b_{n}), (c_{1},\ldots ,c_{n}) \in T$ vardır.