Bir $n$ doğal sayısının kendisinden küçük tüm doğal sayılara bölünmesiyle ortaya çıkan farklı kalanların toplamı $K(n)$ ile gösterilsin.
$K(n)=n$ olan tüm $n$ doğal sayılarını bulunuz. (Örnek: $K(9)=1+2+3+4=10$)

İki öğrenci, tahtaya $x^2+19x+91$ polinomunu yazarak şöyle bir oyun oynuyorlar: Birinci oyuncu, polinomun başkatsayısı dışındaki katsayılarından birini silip, onun yerine bir fazlasını veya bir eksiğini yazıyor. Benzer şekilde, ikinci oyuncu da ortaya çıkan polinomun başkatsayısı dışındaki katsayılarından birini silip, onun yerine bir fazlasını veya bir eksiğini yazıyor ve oyun bu şekilde sürdürülüyor. Bir süre sonra, tahtada $x^2+91x+19$ polinomu yazılmış olduğuna göre, bundan önce yazılan polinomlardan en az birinin köklerinin ikisinin de tam sayı olduğunu kanıtlayınız.

$n>3$ olmak üzere, $a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$ reel sayıları için

  $a_1+a_2+ \cdots +a_n \geq n$  ve  $a_1^2+a_2^2+ \cdots + a_n^2 \geq n^2$

eşitsizlikleri sağlanmaktadır. $a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$ sayıları içinde $2$'den küçük olmayan en az bir sayı bulunduğunu ispat ediniz.

Bir mühendis, her biri düzlemde uygun bir parabolün iç bölgesinin tümünü aydınlatabilen sonlu sayıda fener ile tüm düzlemi aydınlatabileceğini söyleyince, matematikçi olan arkadaşı bunun mümkün olmadığını kanıtlıyor. Bunu siz de kanıtlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O;\ [OA]$ üzerinde alınan bir $E(A \neq E \neq O)$ noktasından$,\ [AB],[BC],[CA]$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları, sırasıyla $N,L,M;\ ABC$ üçgeninin $A$'dan geçen yüksekliğinin $[BC]$ kenarını kestiği nokta $D$ ile gösterilmek üzere$;\ N,L,D,M$ noktalarının bir çember üzerinde bulunduğunu ispatlayınız.