$p$ ve $q$ tek asal sayılar ve $p$ ile $q$ arasında başka asal sayı yoksa, $p+q$ sayısının, her biri $1$'den büyük en az üç tane doğal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini gösteriniz.
(Çarpanların farklı olmaları gerekmez)

Sıfırdan farklı $x,y,z$ sayıları

$x^2-y^2=yz$  ve  $y^2-z^2=zx$

eşitliklerini sağlıyor. $x^2-z^2=xy$  olduğunu gösteriniz.

Her biri $100$'ü aşmayan $10$ farklı pozitif tam sayının oluşturduğu kümenin boş olmayan ve ayrık öyle iki alt kümesi vardır ki, bu alt kümelerden birindeki sayıların toplamı diğerindeki sayıların toplamına eşittir; ispat ediniz.

Düzlem üzerinde, hepsi bir doğru üzerinde bulunmayan $2000$ tane nokta işaretlenmiş ve bu noktaların her birinin yanına o noktanın yükü diyeceğimiz bir reel sayı yazılmıştır. Üzerinde en az iki işaretlenmiş nokta bulunduran her doğrunun tüm işaretlenmiş noktalarının yükleri toplamı sıfır olduğuna göre, her işaretlenmiş noktanın yükünün sıfır olduğunu kanıtlayınız.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ ve $B$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $D$; $[DC]$ ile $[AB]$'nin kesişim noktası da $E$ ile gösteriliyor.
$$\dfrac{|AE|}{|EB|}=\dfrac{|AC|^2}{|BC|^2}$$
olduğunu ispat ediniz.