Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1999 - Lise 3

$n$'nin tüm pozitif bölenlerinin toplamı $T(n)$ ile gösterilmek üzere, her $n > 1$ tek sayısı için $(T(n))^3<n^4$ olduğunu kanıtlayınız.

$x^7+y^7=x^4+y^4$ denklemini sağlayan tüm $(x,y)$ reel sayı ikililerini bulunuz.

Her $x>\sqrt2,\ y>\sqrt2$ için
$$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 > x^2+y^2$$
eşitsizliğinin sağlandığını kanıtlayınız.

Kenar uzunluğu $100$ birim olan bir kare içine yarıçapı $1$ birim olan $n$ tane daire, kare içinde bulunan ve uzunluğu $10$ birim olan her doğru parçası en az bir daire ile en az bir ortak noktaya sahip olacak biçimde yerleştirilebiliyorsa, $n \geq 416$ olduğunu kanıtlayınız.

Bir çember üzerindeki bir $C$ noktasını $[AB]$ çapı üzerindeki bir $D$ noktasına birleştiren doğru çiziliyor. $C$ den $[AB]$ ye indirilen dikmenin ayağı $E;\ A$ dan $[CD]$ ye indirilen dikmenin ayağı $F$ ile gösterilmek üzere
$$|DC| \cdot |FC| = |BD| \cdot |EA|$$
olduğunu ispatlayınız.