1
Herhangi üç tek doğal sayı verildiğinde öyle dördüncü tek doğal sayı bulunabilir ki, bu dört sayının kareleri toplamı bir tamkare (yani, bir doğal sayının karesi) dir; kanıtlayınız.
2
Kenar uzunluğu $1\ cm$ olan bir kare içine, alanları toplamı $1997,5\ cm^2$ olan ve konveks olmaları gerekmeyen $1998$ tane çokgen, karenin dışına taşmayacak biçimde rastgele yerleştiriliyor. Karenin en az bir noktasının söz konusu çokgenlerin hepsi tarafından örtüldüğünü gösteriniz.
3
$x,y,z$ reel sayılar ve $x \geq y \geq z > 0$ ise
$$\dfrac{x^2-y^2}{z}+\dfrac{z^2-y^2}{x}+\dfrac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$$
olduğunu kanıtlayınız.
4
Bir koridorun, boyutları $2 \times 11\ m$ olan dikdörtgen biçimindeki tabanı, boyutları $1 \times 2\ m$ olan aynı tür halılarla, halılar birbirinin herhangi bir kısmını örtmeksizin, kaplanmak isteniyor. Bu iş kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm:
$2\times n$'lik tabanı örtmeye çalışalım. Tabanın en sonundaki halı $1$ adet ve dikey olabilir veya $2$ adet yatay olabilir. Dikey olanda kalan kısmı $a_{n-1}$ şekilde, yatay olanda $a_{n-2}$ farklı şekilde yerleştirebiliriz. Dolayısıyla $a_n$ farklı yerleştirme yapılabilirse, $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$ olacaktır. $a_1=1$ ve $a_2=2$ olduğundan, $$a_3=3\to a_4=5\to a_5=8\to a_6=13\to a_7=21\to a_8=34\to a_9=55\to a_{10}=89\to a_{11}=144$$ olacağından $144$ farklı şekilde halıları dizebiliriz.
5
$ABCD$ konveks (dışbükey) dörtgeninin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta noktaları, sırasıyla $P$ ve $N$ olsun. Eğer
$$|AP|+|AN|=d$$
ise $ABCD$ dörtgeninin alanının $\dfrac{1}{2}d^2$ değerinden küçük olduğunu gösteriniz.