Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1998 - Lise 3

Herhangi üç tek doğal sayı verildiğinde öyle dördüncü tek doğal sayı bulunabilir ki, bu dört sayının kareleri toplamı bir tamkare (yani, bir doğal sayının karesi) dir; kanıtlayınız.

Kenar uzunluğu $1\ cm$ olan bir kare içine, alanları toplamı $1997,5\ cm^2$ olan ve konveks olmaları gerekmeyen $1998$ tane çokgen, karenin dışına taşmayacak biçimde rastgele yerleştiriliyor. Karenin en az bir noktasının söz konusu çokgenlerin hepsi tarafından örtüldüğünü gösteriniz.

$x,y,z$ reel sayılar ve $x \geq y \geq z > 0$ ise
$$\dfrac{x^2-y^2}{z}+\dfrac{z^2-y^2}{x}+\dfrac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$$
olduğunu kanıtlayınız.

Bir koridorun, boyutları $2 \times 11\ m$ olan dikdörtgen biçimindeki tabanı, boyutları $1 \times 2\ m$ olan aynı tür halılarla, halılar birbirinin herhangi bir kısmını örtmeksizin, kaplanmak isteniyor. Bu iş kaç farklı biçimde yapılabilir?

$ABCD$ konveks (dışbükey) dörtgeninin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta noktaları, sırasıyla $P$ ve $N$ olsun. Eğer
$$|AP|+|AN|=d$$
ise $ABCD$ dörtgeninin alanının $\dfrac{1}{2}d^2$ değerinden küçük olduğunu gösteriniz.