Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1998 - Lise 1-2

Dört ardışık doğal sayının çarpımının asla bir tamkare (yani başka bir doğal sayının karesi) olamayacağını kanıtlayınız.

Yarıçapı $1$ cm olan bir çember üzerinde rastgele $100$ tane nokta işaretlenmiştir. Çember üzerinde, bütün işaretlenmiş noktalara olan uzaklıkları toplamı $100$ cm'den büyük olacak şekilde en az bir noktanın bulunduğunu gösteriniz.

$x,y,z$ negatif olmayan reel sayılar ve $x+y+z \leq 3$ ise
$$\dfrac{2}{1+x}+\dfrac{2}{1+y}+\dfrac{2}{1+z} \geq 3$$
olduğunu kanıtlayınız.

Kenar uzunluğu $1cm$ olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde rastgele bir $D$ noktası alınıyor. $D$'nin $[AC]$ ve $[BC]$ üzerine dik izdüşümleri, sırasıyla $E$ ve $F$; $E$ ve $F$'nin $[AB]$ üzerine dik izdüşümleri, sırasıyla $E_1$ ve $F_1$ olsun.
$$|E_1F_1|=\dfrac{3}{4}cm$$
olduğunu gösteriniz.

Aşağıdaki denklem sistemini (reel sayılar kümesinde) çözünüz:
$$\left\{ \begin{align*}  x_1 + x_2 &= x_3^2 \\ x_2 + x_3 &= x_4^2 \\ x_3 + x_4 &= x_1^2 \\ x_4 + x_1 &= x_2^2\end{align*} \right.$$