Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1997 - Lise 2 Çözümleri
« 1997 - Lise 1 1998 - Lise 1-2 »
« Sorulara Git
Geri

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1997 - Lise 2 Çözümleri

1
$15x^2-7y^2=9$ denkleminin tam sayılarda hiç çözümünün bulunmadığını gösteriniz.
Çözüm:
Çözüm [Lokman GÖKÇE]: $15x^2 - 7y^2 = 9$ denklemini modülo $5$ içinde inceleyelim. $-7y^2 \equiv 9 \pmod{5}$ denkliğinden $y^2 \equiv 3 \pmod{5}$ bulunur. Öte yandan $\{0, \mp 1, \mp 2\}$ sayılarının karelerini alırsak modülo $5$ içinde elde edilebilecek tüm kalanların kümesi $\{ 0, 1, 4 \}$ tür. Yani $y^2 \not \equiv 3 \pmod{5}$ tir. Dolayısıyla verilen denklemin tam sayılar kümesinde çözümü yoktur.
2
$x,y,z,t$ reel sayılar ve $1 \leq x\leq y \leq z \leq t \leq 100$ olmak üzere,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t}$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm:
Çözüm [Lokman GÖKÇE]: Aranan en küçük değer $\dfrac{1}{5}$ tir.
$\dfrac{z}{y}\geq 1$ ve $\dfrac{x}{t}\geq \dfrac{1}{100}$ olduğunu göz önüne alarak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği uygularsak,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t} \geq 2 \sqrt{\dfrac{xz}{yt}} \geq 2  \sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{5}$$
elde edilir.  Eşitlik durumu, $x=1$, $t=100$, $y=z$ iken sağlanır.
3
$x_1=0$ ve her $n \in \mathbb N$ için
$$x_{n+1}=5x_n+\sqrt{24x_n^2+1}$$
ile tanımlanan dizinin ikinciden itibaren tüm terimlerinin doğal sayılar olduğunu kanıtlayınız.
4
Bir düzgün $1997$-genin her köşesine bir pozitif reel sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her bir sayı, "sağında" ve "solunda" yazılmış olan komşularının aritmetik veya geometrik ortalamasına eşittir. Köşelerde yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.
5


$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı ve eşit çevreli iki parçaya ayrılıyor (şekilden izleyiniz). $d$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinden geçtiğini gösteriniz.
Çözüm:
$BAC$ açısının açıortayı $DE$ yi $F$ de kessin.
$F$ den $AB$, $AC$, $BC$ ye inilen yükseklikler sırasıyla $x,  x, y$ olsun.
Çevre eşitliğinden $AD+AE = BD+EC+BC$ olacaktır. Eşitliğin her iki tarafını $\frac x2$ ile çarparsak $$\begin{array}{rcl}
BD\cdot \dfrac x2 + CE\cdot \dfrac x2 + BC\cdot \dfrac x2 &=& AD \cdot \dfrac x2 + AE \cdot \dfrac x2 \\
& = & [ADE] \\
& = & [BDEC] \\
 &=&[BDF]+ [CEF]+ [BCF] \\
&=& BD\cdot \dfrac x2 + CE\cdot \dfrac x2 + BC\cdot \dfrac y2
\end{array}$$ $x=y$ elde edilir. Bu durumda $F$, $\triangle ABC$ in iç merkezidir.