$15x^2-7y^2=9$ denkleminin tam sayılarda hiç çözümünün bulunmadığını gösteriniz.

$x,y,z,t$ reel sayılar ve $1 \leq x\leq y \leq z \leq t \leq 100$ olmak üzere,
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t}$$
ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$x_1=0$ ve her $n \in \mathbb N$ için
$$x_{n+1}=5x_n+\sqrt{24x_n^2+1}$$
ile tanımlanan dizinin ikinciden itibaren tüm terimlerinin doğal sayılar olduğunu kanıtlayınız.

Bir düzgün $1997$-genin her köşesine bir pozitif reel sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her bir sayı, "sağında" ve "solunda" yazılmış olan komşularının aritmetik veya geometrik ortalamasına eşittir. Köşelerde yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı ve eşit çevreli iki parçaya ayrılıyor (şekilden izleyiniz). $d$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezinden geçtiğini gösteriniz.