Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1997 - Lise 1 Çözümleri
« 1996 1997 - Lise 2 »
« Sorulara Git
Geri

Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama - 1997 - Lise 1 Çözümleri

1
$m \in \mathbb R$ olmak üzere,
$$x^2+(m-4)x+(m^2-3m+3)=0$$
denkleminin iki reel kökü $x_1$ ve $x_2$ dir. $x_1^2+x_2^2=6$ olduğuna göre, $m$ nin alabileceği değerleri bulunuz.
2
$x$ ve $y$ herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,

$$ x^2\sqrt{\dfrac{x}{y}} + y^2\sqrt{\dfrac{y}{x}} \geq x^2+y^2$$

eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
Çözüm:
Çözüm 2 [Lokman GÖKÇE]: Köklü ifadelerden kurtulmak için $a,b>0$ olmak üzere $x=a^2, y = b^2$ değişken değiştirmesi yapalım. Verilen eşitsizlik
$$ a^4\cdot \dfrac{a}{b} + b^4\cdot \dfrac{b}{a} \geq a^4 + b^4 $$
biçimine dönüşür. Payda eşitleyerek düzenlersek
$$ a^6 + b^6  \geq a^5b + b^5a $$
olduğunu ispat etmeliyiz. Bu ise bize yeniden düzenleme eşitsizliğini hatırlatıyor. Simetriden dolayı $0<a\leq b$ kabul edebiliriz. Bu durumda $ 0<a^5 \leq b^5$ olur. Benzer sıralı bu iki sayı dizisini kullanarak yeniden düzenleme eşitsizliğini uygularsak
$$ a^5\cdot a + b^5 \cdot b \geq  a^5\cdot b + b^5 \cdot a  $$
elde ederek ispatı tamamlarız.
3
Her $k \in \mathbb N$ için $k$'nın rakamları toplamını $T(k)$ ile gösterelim. Bir $n$ doğal sayısı için $T(n)=T(1997n)$ ise $n$ sayısının $9$'un bir katı olduğunu kanıtlayınız.
4
Düzlem, satranç tahtasında olduğu gibi karelere bölünmüş ve her kare içine bir doğal sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her karedeki sayı dört komşu karedeki (üstteki, alttaki, sağdaki ve soldaki) sayıların aritmetik ortalamasına eşittir. Karelere yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Arthur Engel'in Problem Solving Strategies kitabında, Extremal Principle (En Büyük Değer-En Küçük Değer Prensibi) bölümünde karşılaştığım bir problemdir. Bu kitaptan öğrendiğim çözümü paylaşacağım:


Çözüm: Karelerde yazılı doğal sayılardan en küçüğü $x$ olsun. Bu kareye komşu olan dört karede yazılı olan doğal sayılar da $a,b,c,d$ olsun. $x\leq a, b, c, d$ dir. Dolayısıyla $4x \leq a+ b + c + d$ olur. Problemde verilen bilgiye göre
$$ x = \dfrac{a+b+c+d}{4} $$
dir. Bu eşitlikten ve önceki eşitsizlikten $x=a=b=c=d$ olduğunu anlarız. Bu yöntemi $x$ yazılı diğer karelere de uygularsak, tüm karelerdeki sayıların eşit olduğu anlarız.
5

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı iki parçaya ayrılıyor. $d$ doğrusu, $[AB]$'yi $D$ ve $[AC]$'yi $E$ noktasında kesiyor (şekilden izleyiniz).

$$\dfrac{|AD|+|AE|}{|BD|+|DE|+|EC|+|CB|} > \dfrac{1}{4}$$
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
$AD \geq \dfrac {AB}2$ olmak zorunda aksi halde $\dfrac {[ABC]}{2} > [ADC] \geq [ADE]$.
Benzer şekilde $AE \geq \dfrac {AC}2$.
Taraf tarafa toplarsak $$2(AD+AE)\geq AB+AC \tag{1}$$
Üçgen eşitsizliğinden $AD+AE>DE$ ve $AB+AC>BC$.
Taraf tarafa ekleyip her iki tarafa $BD+CE$ eklersek $$2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC \tag{2}$$
$(1)$ ve $(2)$ yi birleştirdiğimizde $4(AD+DE)  \geq 2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC$ elde ederiz.