$m \in \mathbb R$ olmak üzere,
$$x^2+(m-4)x+(m^2-3m+3)=0$$
denkleminin iki reel kökü $x_1$ ve $x_2$ dir. $x_1^2+x_2^2=6$ olduğuna göre, $m$ nin alabileceği değerleri bulunuz.

$x$ ve $y$ herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,

$$ x^2\sqrt{\dfrac{x}{y}} + y^2\sqrt{\dfrac{y}{x}} \geq x^2+y^2$$

eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

Her $k \in \mathbb N$ için $k$'nın rakamları toplamını $T(k)$ ile gösterelim. Bir $n$ doğal sayısı için $T(n)=T(1997n)$ ise $n$ sayısının $9$'un bir katı olduğunu kanıtlayınız.

Düzlem, satranç tahtasında olduğu gibi karelere bölünmüş ve her kare içine bir doğal sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her karedeki sayı dört komşu karedeki (üstteki, alttaki, sağdaki ve soldaki) sayıların aritmetik ortalamasına eşittir. Karelere yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı iki parçaya ayrılıyor. $d$ doğrusu, $[AB]$'yi $D$ ve $[AC]$'yi $E$ noktasında kesiyor (şekilden izleyiniz).

$$\dfrac{|AD|+|AE|}{|BD|+|DE|+|EC|+|CB|} > \dfrac{1}{4}$$
olduğunu gösteriniz.