$(x-y+z)^2=x^2-y^2+z^2$ denkleminin tüm reel çözümlerini bulunuz.

$u_1=1,\ u_2=1$ ve her $k \geq 1$ için $u_{k+2}=u_k+u_{k+1}$ olarak tanımlanan $(u_n)$ dizisi Fibonacci dizisi olarak bilinir. Her $k \geq 1$ için $u_{5k}$'nın $5$ ile tam bölündüğünü gösteriniz.

$2$'den büyük bir $x$ reel sayısı verilmiş olsun. Osman, $1997$ tane etiketin her biri üzerine, farklı etiketlere farklı sayılar yazmak koşuluyla, $1,x,x^2,x^3,...,x^{1995},x^{1996}$ sayılarından birini yazıyor. Sonra bu etiketlerden bir kısmını sağ cebine, bir kısmını sol cebine koyuyor ve kalanları da çöp kutusuna atıyor. Osman'ın sağ cebindeki sayıların toplamı ile sol cebindeki sayıların toplamının asla birbirine eşit olamayacağını kanıtlayınız.

Düzlem üzerinde öyle $25$ nokta verilmiş olsun ki, bu noktalardan herhangi üç tanesi alındığında, bu üç noktanın en az ikisinin aralarındaki uzaklık $1$ cm'den küçük olsun. Verilen $25$ noktadan en az $13$ tanesinin, yarıçapı $1$ cm olan bir daire içinde olduğunu kanıtlayınız.

Merkezleri $O_1$ ve $O_2$ noktalarında olan iki çember $M$ ve $N$ noktalarında kesişiyorlar (çemberlerin yarıçapları farklı olabilir). $O_1M$ doğrusu birinci çemberi $A_1$, ikinci çemberi de $A_2$ noktasında; $O_2M$ doğrusu ise birinci çemberi $B_1$, ikinci çemberi de $B_2$ noktasında kesiyor. $A_1B_1$, $A_2B_2$ ve $MN$ doğrularının bir noktada kesiştiklerini kanıtlayınız.