$n\ge 2$ arabanın katıldığı bir yarışta, $1$ den $n$ ye kadar numaralanmış arabalar, başlangıç noktasından numara sırasına göre belli aralıklarla ayrılıyor. Yarış boyunca bir araba bir başkasını en çok bir kez geçiyor ve her araba toplam olarak aynı sayıda araba tarafından geçiliyor. Ayrıca herhangi farklı iki arabanın yarış boyunca geçtikleri arabaların sayıları birbirinden farklı olup, arabalar bitiş noktasına farklı zamanlarda varıyor. $n$ nin bu durumu olanaklı kılan tüm değerlerini bulunuz.

Bir $ABCD$ konveks dörtgeninin $AB,BC,CD$ ve $DA$ kenarları üstünde sırasıyla $K,L,M$ ve $N$ noktaları alınıyor. $Alan(AKN)=s_{1}$, $Alan(BKL)=s_{2}$, $Alan(CLM)=s_{3}$, $Alan(DMN)=s_{4}$ ve $Alan(ABCD)=s$ olmak üzere, $$\sqrt[3]{s_{1}}+\sqrt[3]{s_{2}}+\sqrt[3]{s_{3}}+\sqrt[3]{s_{4}}\le 2\sqrt[3]{s}$$ olduğunu gösteriniz.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, her $t \in (0,1)$ ve $x_{1},x_{2} \in \mathbb{R}$ için, $$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\le tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})$$ eşitsizliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2004}$, $$a_{1}\ge a_{2}\ge \ldots \ge a_{2003} \text{ ve } a_{2004}=a_{1}$$ koşullarını sağlayan gerçel sayılar olmak üzere, $$\sum_{k=1}^{2003}{f(a_{k})a_{k+1}}\ge \sum_{k=1}^{2003}{f(a_{k+1})a_{k}}$$ olduğunu gösteriniz.

$2^{2n+1}+2^{n}+1$ sayınsın tam kuvvet olmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $BC$ kenarlarına teğet olan bir $S$ çemberi, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de bir $T$ noktasında teğettir. $I$, $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi ise, $\widehat{ATI}=\widehat{CTI}$ olduğunu gösteriniz.

$m\times n$ bir satranç tahtasının her birim karesine $0$ ya da $1$ yazılarak elde edilen bir yazılıma, $0$ ve $1$ lerin sayısı eşitse, eşit bir yazılım diyoruz. $a$ gerçel bir sayı olmak üzere, $m$ satır ve $n$ sütunun her biri için, o satır ya da sütun içindeki $1$ lerin yüzdesi $a$ dan küçük ya da $100-a$ dan büyük olmayacak şekilde bir eşit yazılımı olanaklı kılan $m$ ve $n$ sayıları bulunuyorsa, $a$ ya güzel sayı diyoruz. En büyük güzel sayıyı bulunuz.