Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

Hakan ve Mete, beraberliğin olmadığı bir oyun oynuyorlar. Düzenleme kurulu, oyunda kazanan ve kaybedene, her defasında belirli miktarda para veriyor. Belirli sayıda oyun sonunda, Hakan'ın $280$ TL'si, Mete'nin ise $175$ TL'si olduğu görülüyor. Mete'nin sadece $3$ oyunu kazandığı biliniyor. Her oyun sonunda düzenleme kurulu kazanana kaç TL vermektedir?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 65 \qquad\textbf{c)}\ 25 \qquad\textbf{d)}\ 26 \qquad\textbf{e)}\ 35$

Ulam Spirali olarak bilinen yukarıdaki sayı tablosu; şekilde gösterildiği gibi, sayılar $1$'den başlayarak ve saat yönünde yazılarak oluşturulmuştur. Buna göre, bu tablodaki $381$ sayısının sağ alt çaprazındaki sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 442 \qquad\textbf{b)}\ 463 \qquad\textbf{c)}\ 401 \qquad\textbf{d)}\ 421 \qquad\textbf{e)}\ 485$

$25$ kişilik bir sınıfta başkanlık seçimi yapılacaktır. Öğrenciler başkan adayları olan Teoman, Alper ve Berk'in her üçünün de isimlerini, daha çok tercih ettiklerini daha önce yazmak koşuluyla, bir kağıda yazıyorlar. Seçim sonunda kağıtlarda, Teoman'ın Alper'den $19$ kez daha önce, Berk'in Teoman'dan $12$ kez daha önce ve Alper'in Berk'ten $11$ kez daha önce yazıldığı görülüyor. Her sıralamanın en az iki kez yazıldığı bilindiğine göre Berk kaç kez birinci sırada yazılmıştır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 9$

$x$ reel sayısı$,\ (x+1)(3x+2)(6x+5)^2=6$ denklemini sağladığına göre$,\ \left( 3x + \dfrac{5}{2} \right)^2$ ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 1,96 \qquad\textbf{c)}\ 2,25 \qquad\textbf{d)}\ 2,5 \qquad\textbf{e)}\ 1,44$

Tam olarak iki rakamı eşit olan ve birbirinden farklı rakamlarının çarpımı $84$ olan beş basamaklı kaç sayı vardır?

$($Örneğin$,\ 79224$ sayısının$,$ birbirinden farklı rakamlarının çarpımı $7 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 4 = 504$'tür.$)$

$\textbf{a)}\ 420 \qquad\textbf{b)}\ 480 \qquad\textbf{c)}\ 540 \qquad\textbf{d)}\ 360 \qquad\textbf{e)}\ 240$

Herbirinden $6$'şar tane olan $4$ farklı kitabımız vardır. Bu $24$ kitabı$,$ Gökhan ve Nihan'a$,$ herbirine $12$'şer kitap vermek koşuluyla$,$ kaç farklı şekilde dağıtabiliriz?

$\textbf{a)}\ 231 \qquad\textbf{b)}\ 331 \qquad\textbf{c)}\ 271 \qquad\textbf{d)}\ 455 \qquad\textbf{e)}\ 313$

$x$ pozitif bir reel sayı olmak üzere$,\ x^3+4x+ \dfrac{20}{x}$ ifadesinin minimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ 9\sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ 8\sqrt[3]{2} \qquad\textbf{d)}\ 16\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 8\sqrt[4]{2}$

Şekilde $|AB|=12,\ |AN|=|NM|=|MD|,\ |AE|=|EC|$ ve $m(\widehat{ABM})=m(\widehat{MBD})$ olduğuna göre$,\ |BC|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac52 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac73$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed C$

Açıortay teoreminden $DB/AB = DM/AM=1/2 \Longrightarrow DB=6$.
$AE/EC=AN/NM=1$ olduğu için $NE\parallel MC$.
$DM/MN= DC/CB=1 \Longrightarrow BC=3$.

$f(x)=\dfrac{(x-\sqrt2)(x-\sqrt3)}{(1-\sqrt2)(1-\sqrt3)} + 2 \cdot \dfrac{(x-1)(x-\sqrt3)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2-\sqrt3)} + 3 \cdot \dfrac{(x-1)(x-\sqrt2)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3-\sqrt2)}$ olduğuna göre$,\ f(5)+f(6)$ değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 67 \qquad\textbf{b)}\ 83 \qquad\textbf{c)}\ 61 \qquad\textbf{d)}\ 65 \qquad\textbf{e)}\ 74$

Bir $ABC$ üçgeninde$,\ K$ üçgen içinde bir nokta olmak üzere$,\ |AB|=|BC|=|AK|$ ve $m(\widehat{ABC})=86^{\circ}$ dir. $m(\widehat{KAC})=13^{\circ}$ ise $m(\widehat{KCB})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 18 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 17 \qquad\textbf{e)}\ 19$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed D$

Söz konusu problem Model Üçgen 4.7 ye aittir. Burada bu sorunun daha genel hali için birçok çözüm yer almakta.

$\left\{ \begin{array}{ccc} 1 < x^1 < 3 \\ 2 < x^2 < 4 \\ 3 < x^3 < 5 \\ \vdots \\ m < x^m < m+2 & \end{array}\right.$ eşitsizlik sisteminin reel sayılarda çözümünün olmasını sağlayan en büyük $m$ doğal sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$a+b=c$ eşitliğini sağlayan ve $(c-a)(b-a-2)-37a+1$ ifadesini tamkare yapan kaç tane $(a,b,c)$ asal sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 0$

$2x= \left( \dfrac{x^3+1}{2} \right)^3+1$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 9$

Her $x \neq 2$ için $f(x)+4x=(x-2) \cdot f \left( \dfrac{2x+1}{x-2} \right)$ fonksiyonel denklemini sağlayan $f$ fonksiyonu için$,\ f(17,71)$'in tam kısmı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 34 \qquad\textbf{b)}\ 45 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 44 \qquad\textbf{e)}\ 54$

$a_{n+2}=\dfrac{2a_{n+1}}{3a_n},\ a_0=2$ ve $a_1=1$ olduğuna göre$,\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{3n}}{3^n}$ toplamının değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac73 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac83 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac92 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac72$

$12$'nci kuvveti$,\ 23$'e bölündüğünde $13$ kalanını veren $100$'den küçük kaç tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$

Pozitif bölenleri $d_1,d_2,...,d_{12}$ olan ve

$1=d_1<d_2<d_3< \cdots <d_{12}=d,\ d_6=12$ ve $d_8+d_2=48$

koşullarını sağlayan $d$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 12 \qquad\textbf{e)}\ 18$

Burcu$,$ Emel$,$ Tolga ve Alp$,$ aşağıda verilen$,$ kendilerinin tanımladığı özelliklere sahip üçgenlere "BETA ÜÇGENİ" adını veriyorlar.

Burcu : Üçgenin alanı tam sayı olsun.

Emel : Üçgenin en küçük iki kenarı ardışık tam sayı olsun.

Tolga : Üçgenin en büyük kenarı$,$ çevre uzunluğunun yarısından $1\ br$ küçük olsun.

Alp : Üçgenin çevresinin uzunluğu $500$'den küçük olsun.

Tolga bu koşullara uygun en küçük üçgenin $(3,4,5)$ üçgeni olduğunu hemen söylüyor. Buna göre$,$ bir BETA ÜÇGENİNİN çevre uzunluğunun$,\ 100$'den büyük olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac58 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac37 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac38 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac47$

$x=\sqrt{27-10\sqrt2}$ olmak üzere$,\ S= \dfrac{x^4-10x^3+24x^2-10x+47}{x^2-10x+26}$ ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 8$

$ABC$ üçgeninde $|AB|=4,\ |AC|=5$ ve $|BC|=6$'dır. $E$ ve $D,\ [AC]$ doğru parçası üzerinde iki nokta olmak üzere$,\ m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBD})=m(\widehat{DBC})$ ise $m(\widehat{BDA})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 45^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 60^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 30^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 75^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 15^{\circ}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

$BC=BF=6$ olacak şekilde $[CA$ üzerinde $F$ noktası alalım. Stewart'ın özel halinden $AF\cdot AC = BC\cdot BF - AB^2$, $AF\cdot 5 = 6^2-4^2=20 \Longrightarrow AF = 4$.
$\angle ABF = \angle BFA =\angle BCF$ olur.
$3\angle BDA = 3(\angle CBD + \angle BCD)=180^\circ \Longrightarrow \angle BDA = 60^\circ$.

$a_k=\dfrac{19^k+91^k}{k!},\ (k=1,2,3,...)$ dizisinin en büyük terimi$,$ kaçıncı terimdir?

$\textbf{a)}\ 50 \qquad\textbf{b)}\ 55 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 90 \qquad\textbf{e)}\ 91$

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde$,\ BC$ kenarı üzerinde $|BD|<|BE|$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları seçiliyor. $|BD|=16,\ |EC|=5$ ve $m(\widehat{DAE})=30^{\circ}$ ise $|AC|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 39 \qquad\textbf{b)}\ 40 \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 38 \qquad\textbf{e)}\ 33$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed B$

$BC$ nin orta noktası $M$, $D$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$AC=x$ dersek $BH=8$, $AH=x-8$, $DH=8\sqrt 3$, $MD=\dfrac x2 -16$, $ME=\dfrac x2 -5$, $AM=\dfrac {x\sqrt 3}2$ olur.
$\angle BAD = \angle MAE$ olduğu için $\triangle HAD \sim \triangle MAE$. Buradan $HD/HA = ME/MA$ oranını yazarsak $$\dfrac{8\sqrt 3}{x-8}=\dfrac {\dfrac x2 - 5}{\dfrac {x\sqrt 3}2}$$ eşitliğinden $x^2-42x+80=(x-2)(x-40)=0$ denklemi elde edilir. Köklerden sadece $x=40$ sağlar.

$x,y,z$ reel sayılar ve $x<2y<z<12$ olmak üzere$,$

$\left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2y-x} + \dfrac{1}{z-2y} & \leq & 1 \\ \dfrac{1}{12-z} + 1 & \leq & \dfrac{x}{4} \end{array}\right.$

eşitsizlik sistemi sağlansın. Buna göre$,\ x+y+z$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 19 \qquad\textbf{c)}\ 22 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 20$

$P(x),$ ikinci dereceden bir polinom olsun. Her $x \in \mathbb R$ için$,\ P(2x(4x^2+1)) \geq P(4x^2+1)$ eşitsizliği sağlanıyorsa$,\ P(x)$ polinomunun kökleri toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$ABC$ üçgeninde $B$'den çizilen yüksekliğin ayağı $D$ ve $|AB|=2$ olsun. $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi ile $DBC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi aynı nokta olduğuna göre$,\ |AC|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{14} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{13} \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{11} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{10}$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed E$

$AB$ nin orta noktası $M$, $AC$ nin orta noktası $N$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$BC = 2\cdot AN=2 \cdot NC$ olacaktır.
$\triangle DBC$ de $BN$ açıortay olduğu için $BD/DB=BC/CN=2$ olacaktır.
Dikkatli geometriciler $\triangle DBC$ nin bir $3-4-5$ üçgeni olduğunu hemen görecektir. ($BC=10$ ve $DN=x$ dersek, dik üçgenin kenarları $2x, 5+x, 10$ olacaktır.)
Göremeyenler için $DN = x, NC=y$ dersek $(x+y)^2+(2x)^2=(2y)^2$ denklemini elde ederiz. Buradan $5x^2+2xy-3y^2=(5x-3y)(x+y)=0$ ve $\dfrac xy = \dfrac 35$ olur.
$BD=2\cdot DN = 6k$ dersek $AN=NC=5k$, $AC=10k$, $AD=2k$ olur.
$\triangle ABD$ de Pisagor'dan $40k^2=4$, $k=\dfrac 1{\sqrt{10}}$ ve $AC=10k=\sqrt {10}$ olacaktır.

Çözüm 2:

$AB$ nin orta noktası $M$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$\angle ACM = \angle ABD = \angle MDB = \alpha$.
$\angle DBG =\angle GBC = \dfrac{\angle DBC}{2}=45^\circ - \alpha$ olduğu için $\angle MBG=45^\circ$ ve $MG=MB=1$ ve $CG=2$ olur. $\triangle AMC$ de Pisagor'dan $AC = \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ olur.

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2016 Çözümleri