Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

$(yx)^y= \left( \dfrac{y}{x} \right)^x$ ve $x^2=\dfrac{1}{y}$ denklem sisteminin pozitif reel sayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5})^{1515}$ ifadesinin binom açılımında$,$ toplananların kaç tanesi rasyonel sayı olacaktır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 102 \qquad\textbf{c)}\ 105 \qquad\textbf{d)}\ 115 \qquad\textbf{e)}\ 315$

$(a+b+c+d)^n$ ifadesinin açılımındaki terim sayısı $f(n)$ olmak üzere$,$

$\displaystyle \prod_{n=1}^{50} \big(f(2n)-f(2n-1)\big)$

sayısı $2^p$ sayısına tam bölünüyorsa$,\ p$ sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 47 \qquad\textbf{b)}\ 53 \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 73 \qquad\textbf{e)}\ 101$

$d_3$ doğrusu$,\ d_1$ ve $d_2$ doğruları arasında olmak üzere$,\ d_1,d_2$ ve $d_3$ birbirine paralel üç doğrudur. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $A,B$ ve $C$ köşeleri sırasıyla $d_1,d_2$ ve $d_3$ doğruları üzerindedir. $d_1$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $12\ cm,\ d_2$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $3\ cm$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?

$\textbf{a)}\ 52\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 54\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 56\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 60\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 63\sqrt3$

Aşağıdaki sayıların en küçüğü kaçtır?

$\sqrt{\dfrac{13}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{13}},\quad \sqrt{\dfrac{14}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{14}},\quad \sqrt{\dfrac{15}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{15}},\quad ...,\quad \sqrt{\dfrac{107}{12}} + \sqrt{\dfrac{108}{107}}$

$\textbf{a)}\ \dfrac{5\sqrt2}{2} \qquad\textbf{b)}\ 3,5 \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ 2,3$

$a,b,c,d$ pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ S=\dfrac{abc+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3}$ ifadesinin maksimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt5+1}{6} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}$

$a_1=2$ ve her $n \geq 1$ için$,\ 5a_{n+1}=a_n+4$ sağlansın. $A_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$ olmak üzere$,$

$\left|A_n-n-\dfrac54\right|<\dfrac{1}{2500}$

eşitsizliğini sağlayan en küçük $n$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4$

Birim karelerden oluşan $7 \times 9$ ölçülerinde bir tahtanın her karesine $7$ veya $9$ rakamı yazılacaktır. Her satır ve sütunda çift sayıda $7$ rakamı olması koşuluyla$,$ tahta $m$ farklı şekilde doldurulabiliyorsa$,\ m$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 48 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 49 \qquad\textbf{d)}\ 72 \qquad\textbf{e)}\ 65$

Reel (gerçel) $a$ sayısının kaç tane değeri için$,\ (x-1)^2-|x-a|=0$ denkleminin tam olarak üç farklı reel çözümü olur?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

Aşağıdaki denklemlerde$,\ x_i$ tam sayıları $-1,1,2$ ve $3$ sayılarından oluşmaktadır. Değeri $2$ ve $3$ olan eşit sayıda $x_i$ vardır. Ayrıca$,\ -1,1,2,3$ sayılarından her biri en az $1$ kez bulunmaktadır. Buna göre$,$

$x_1+x_2+ \cdots +x_n=5$ ve $x_1^4+x_2^4+ \cdots +x_n^4=995$

ise $x_1^5+x_2^5+ \cdots x_n^5$ ifadesinin minimum değeri için $n$ kaç olur?

$\textbf{a)}\ 901 \qquad\textbf{b)}\ 900 \qquad\textbf{c)}\ 890 \qquad\textbf{d)}\ 490 \qquad\textbf{e)}\ 495$

GANANGANA kabilesinin dilinin alfabesinde sadece $N,G$ ve $A$ harfleri vardır. Her kelimede çift sayıda (sıfır dahil) $A$ harfi bulunmakta ve tüm kelimeler $9$ harften oluşmaktadır. Buna göre$,$ bu kabilenin sözlüğünde en fazla kaç kelime olabilir?

$\textbf{a)}\ 8645 \qquad\textbf{b)}\ 9338 \qquad\textbf{c)}\ 9982 \qquad\textbf{d)}\ 8246 \qquad\textbf{e)}\ 9842$

Birbirinden farklı $m$ ve $n$ pozitif tek tam sayıları için$,$

$\dfrac{m}{n},\quad \dfrac{m+1}{n+1},\quad \dfrac{m+2}{n+2},\quad \dfrac{m+3}{n+3},\quad \dfrac{m+4}{n+4}$

kesirlerinin tamamı sadeleşebildiğine göre$,$ en küçük $m+n$ sayısının kaç pozitif tam sayı böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 32$

$\dfrac{1}{n+1} < (\sqrt5-2)^4 < \dfrac{1}{n}$ eşitsizliğini sağlayan $n$ tam sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 316 \qquad\textbf{b)}\ 318 \qquad\textbf{c)}\ 320 \qquad\textbf{d)}\ 321 \qquad\textbf{e)}\ 322$

Bir $ABC$ dik üçgeninde hipotenüs $[AB]$ ve hipotenüse ait yükseklik de $[CD]$'dir. $[CD]$ çaplı bir çember$,\ [BC]$'yi $F$ noktasında ve $[AC]$'yi de $E$ noktasında kesiyor. $[CD]$ ve $[EF]$'nin kesişim noktası $G$ olmak üzere$,\ |GC|^2=|CE| \cdot |CF|$ eşitliği sağlanıyorsa$,\ ABC$ üçgeninin en küçük açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 15^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 20^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 25^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 10^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 30^{\circ}$

$ab+ac+bc=abc+5$ denklemini sağlayan kaç tane $(a,b,c)$ pozitif tam sayı çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 9$

$P(\sqrt2+\sqrt3)=\sqrt3+1$ eşitliğini sağlayan rasyonel katsayılı en küçük dereceli $P(x)$ polinomu için $P(3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $AD$ açıortay$,\ O$ çevrel çemberin merkezi$;\ P \in [AC]$ ve $AO \perp DP;\ |BD|=4,\ |CP|=3$ ve $|DC|=6$ olduğuna göre$,\ |AP|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt6 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 9$

$10\ metre$ derinliğindeki bir kuyuya düşen bir kurbağa$,$ kuyudan çıkmaya çalışmaktadır. $A$ noktasındaki kurbağa$,$ yukarıya doğru $1$ veya $2\ metre$ zıplayabilmektedir. Kurbağa kuyudan çıkmak isterken$,$ bir defaya mahsus olarak $1\ metre$ aşağıya kaymaktadır. Buna göre$,$ bu kurbağa $A$ noktasından$,$ kuyunun çıkışı olan $B$ noktasına kaç farklı şekilde ulaşabilir?

$\textbf{a)}\ 1020 \qquad\textbf{b)}\ 980 \qquad\textbf{c)}\ 1040 \qquad\textbf{d)}\ 1036 \qquad\textbf{e)}\ 984$

Reel (gerçel) sayılar kümesinde tanımlanan bir $\blacktriangle$ işlemi$,$ her reel (gerçel) $a,b$ ve $c$ sayıları için$,$

$a \blacktriangle a = 0$ ve $a \blacktriangle (b \blacktriangle c) = (a \blacktriangle b)+c$

özelliklerini sağladığına göre$,\ (31 \blacktriangle 13) \blacktriangle 7$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11$

$f(x)=x^6+(k+1)x^5+(2k+1)x^4+(3k+1)x^3+(4k+1)x^2+(5k+1)x+6k+14$ polinomu veriliyor.

$f(1-k)=44-12k$

eşitliği sağlandığına göre$,\ f(1)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 62 \qquad\textbf{c)}\ 56 \qquad\textbf{d)}\ 66 \qquad\textbf{e)}\ 44$

$m(\widehat{A})=50^{\circ},\ m(\widehat{B})=75^{\circ}$ olan $ABC$ üçgeninin bir yüksekliği $[AH]$' dır. $AH$ doğrusu$,\ ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $D$ noktasında kesiyor. $D$ noktasından $AC$ doğrusuna inen dikme ayağı $E$ ise $m(\widehat{AHE})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 50^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 55^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 60^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 65^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 70^{\circ}$

$x$ bir reel (gerçel) sayı olmak üzere$,$

$a=\dfrac{4x}{3}-\dfrac{1}{x},\quad b=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{3},\quad c=x-\sqrt3$ ve $d=x^2-3\sqrt3$

sayılarından tam olarak $3$ tanesi rasyonel sayıdır. Buna göre $d$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{9}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{21}{4} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{17}{4} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 2-3\sqrt3$

Hipotenüsü $2015$ ve diğer kenarları da tam sayı olan kaç farklı dik üçgen vardır?

$($Not : $c$ hipotenüs uzunluğu olmak üzere$,\ (a,b,c)$ üçgeni ile $(b,a,c)$ üçgeni farklı kabul edilecektir.$)$

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 10$

$a>1$ olmak üzere$,$ her reel(gerçel) $x$ için$,\ x^2+ax+10b \geq 0$ eşitsizliği sağlansın.

$S=\dfrac{b+11}{a-1}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{7} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{8} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{9} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11}{10} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{6}$

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde keyfi bir $P$ noktası alınıyor. $P$'den $[BC],[AC],[AB]$'ye çizilen dikme uzunlukları sırasıyla $x,y,z$ olsun.

$$S=\dfrac{|BC|}{x}+\dfrac{|AC|}{y}+\dfrac{|AB|}{z}$$

toplamı minimum olduğuna göre $P$ noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}$ $\text{Diklik merkezidir.}$
$\textbf{b)}$ $\text{Ağırlık merkezidir.}$
$\textbf{c)}$ $\text{Çevrel çemberin merkezidir.}$
$\textbf{d)}$ $\text{İç teğet çemberin merkezidir.}$
$\textbf{e)}$ $\text{İç teğet çember üzerindedir.}$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2015