Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2014
1
Rakamları birbirinden farklı ve birbirinin ters sırada yazılışı olan iki tane üç basamaklı sayının toplamı olarak yazılabilen sayılara Gizemli Sayı diyelim. Kaç tane Gizemli Sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 142 \qquad\textbf{b)}\ 120 \qquad\textbf{c)}\ 162 \qquad\textbf{d)}\ 153 \qquad\textbf{e)}\ 136$
2
$\dfrac{13^n+2}{3}$ ifadesinin tamkare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$
3
$x^5+5y^5=z^6$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç çözümü vardır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$
4
$|AB|=15,\ |BC|=18$ ve $|CA|=21$ olan $ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor. $[AD],\ [BD]$ ve $[CD]$'nin orta noktaları sırasıyla $E,\ F$ ve $G$ olsun. $[AF]$ ile $[BE]$'nin kesişimi $H;\ [BG]$ ile $[CF]$'nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$'nin kesişimi de $L$ ise $EHFKGL$ altıgeninin alanı nedir?
$\textbf{a)}\ 20\sqrt6 \qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt6 \qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt6 \qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt6 \qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt6$
5
Her $x,y \neq 0$ için$,$
$x[f(xy)-f(x)]+f(-y)=0$ ve $f(2)=3$
eşitliklerini sağlayan $f$ fonksiyonu için $f\left( \dfrac{1}{10}\right)$ değeri kaçtır?
$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 22 \qquad\textbf{e)}\ 24$
6
$15$ özdeş matematik ve $5$ özdeş fizik kitabı, herhangi iki fizik kitabı arasında en az iki matematik kitabı olması koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
$\textbf{a)}\ 792 \qquad\textbf{b)}\ 796 \qquad\textbf{c)}\ 812 \qquad\textbf{d)}\ 714 \qquad\textbf{e)}\ 786$
7
$S=1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+ \cdots +101^2+102^2+103^2-104^2-105^2$
toplamının $25$'e bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 8$
8
$f(x)=(x^2-x-5)(x^2+2)(x^2+5x+3)$ fonksiyonunun grafiği üzerinden$,$ bir parabol üzerinde olacak biçimde altı tane nokta seçilirse$,$ bu noktaların apsislerinin kareleri toplamı kaç olur?
$($Parabol$,\ y=ax^2+bx+c,$ $a \neq 0$ formundaki eğrinin grafiğidir.$)$
$\textbf{a)}\ 23 \qquad\textbf{b)}\ 27 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 29$
9
$x^3-3x^2+6x+13=0$ ve $y^3+6y^2+15y+31=0$ denklemlerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $x-y$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 3$
10
Kenar uzunlukları $2\sqrt2$ ve $7\sqrt2$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin çevresine, şekildeki gibi $KLMN$ dikdörtgeni çiziliyor.
$KLMN$ dikdörtgeninin alanı kaç farklı
tamkare değeri olabilir?
$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 1$
11
$x$ bir reel sayı ve
$A(x)=(x+2)^5+(x+2)^3(x-2)^2+(x+2)(x-2)^4$
$B(x)=(2-x)^5+(2-x)^3(2+x)^2+(2-x)(2+x)^4$
olmak üzere$,\ A(x)=B(x)$ denkleminin çözüm sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 5$
12
$A=\{1,2,3,...,18,19\}$ ve $B=\{8,14,18\}$ olmak üzere $A \setminus B$ kümesinin elemanlarıyla$,$ ardışık iki sayı içermeyen kaç alt küme oluşturulabilir?
$\textbf{a)}\ 2380 \qquad\textbf{b)}\ 3640 \qquad\textbf{c)}\ 4420 \qquad\textbf{d)}\ 3960 \qquad\textbf{e)}\ 4230$
13
$5 \times 5$ şeklindeki bir karenin$,$ her $1 \times 1$ karesinin içine $1,2,4,6,8$ rakamları yazılacaktır. Çift olan herhangi bir rakamın yan yana ve çift sayıda bulunması koşuluyla$,\ 5 \times 5$ karesi kaç farklı şekilde doldurulabilir?
$($Çift olan herhangi bir rakamın yukarıdan aşağıya çift sayıda olması gerekmiyor. Üst tarafta bir örnek doldurma verilmiştir.$)$
$\textbf{a)}\ 65^5 \qquad\textbf{b)}\ 29^5 \qquad\textbf{c)}\ 45^5 \qquad\textbf{d)}\ 6^{10} \qquad\textbf{e)}\ 5 \cdot 29^5$
14
$S=\{1,2,3,...,999,1000\}$ kümesindeki sayılardan kaç tanesi $n=7^{999!}-5^{999!}$ farkını böler?
$\textbf{a)}\ 518 \qquad\textbf{b)}\ 624 \qquad\textbf{c)}\ 686 \qquad\textbf{d)}\ 720 \qquad\textbf{e)}\ 735$
15
$a,b,c$ birbirinden farklı negatif olmayan tam sayılar olmak üzere$,\ 3^a+3^b+3^c$ formundaki sayıları$,$ küçükten büyüğe doğru sıralarsak$,\ 101$'inci sayı için $a+b+c$ toplamı kaç olur?
$\textbf{a)}\ 18 \qquad\textbf{b)}\ 17 \qquad\textbf{c)}\ 19 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 15$
16
$S=\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{9} \left( \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^k} \biggr \rfloor + \biggl \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{20-k}} \biggr \rfloor \right)$ toplamının $9$'a bölümünden kalan kaçtır?
$($Burada$,$ $\lfloor x \rfloor$ ifadesi$,$ $x$ sayısının tamdeğerini göstermektedir.$)$
$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 0 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 3$
17
$a_1,a_2,a_3,...$ pozitif sayıları$,$ her $n \in \mathbb N$ için$,\ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+1}$ eşitliğini sağlasın. Eğer$,\ a_{2k}=3 \cdot a_k$ eşitliği sağlanacak şekilde bir $k \in \mathbb N$ değeri bulunuyorsa$,\ a_{11}$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 5\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5\sqrt2}{4} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt2}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11\sqrt2}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9\sqrt2}{4}$
18
Pascal üçgeninin "Şehrazad Satırı" diye adlandırdığımız$,$
$1,1001,...,1001,1$
şeklindeki$,\ 1001$'inci satırındaki sayıların kaç tanesi $5$'e bölünmez?
$\textbf{a)}\ 48 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 36 \qquad\textbf{e)}\ 30$
19
$ABCD$ kirişler dörtgeninde$,\ [AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olsun. $|AB|=|BC|=|CA|,\ |BE|=20$ ve $|ED|=5$ olduğuna göre$,\ |AB|$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 13\sqrt5 \qquad\textbf{b)}\ 9\sqrt5 \qquad\textbf{c)}\ 10\sqrt5 \qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt5 \qquad\textbf{e)}\ 11\sqrt5$
20
$ABCD$ dışbükey dörtgeninde$,\ m(\widehat{BAC})=40^{\circ},\ m(\widehat{ABD})=m(\widehat{CBD})=20^{\circ}$ ve $m(\widehat{CAD})=100^{\circ}$ olduğuna göre $m(\widehat{BDC})$ kaç derecedir?
$\textbf{a)}\ 18^{\circ} \qquad\textbf{b)}\ 15^{\circ} \qquad\textbf{c)}\ 12^{\circ} \qquad\textbf{d)}\ 10^{\circ} \qquad\textbf{e)}\ 5^{\circ}$
21
$f(x)=x^4+3x^3+4x^2-5$ ve $g(x)=x^4-x^3-4x^2+5$ olmak üzere$,\ 0<x \leq p$ koşulunu sağlayan bir $x$ tam sayısı için$,\ p$ asal sayısı $f(x)$ ve $g(x)$'i bölmektedir. Buna göre$,\ p$ asal sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 26 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 19$
22
Tüm terimleri tam sayılar olan ve ilk $10$ terim içinde $1$ ve $31$ bulunan kaç farklı aritmetik dizi vardır?
$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 66 \qquad\textbf{c)}\ 68 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 50$
23
$m^4=n(9m-2n)$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 7$
24
$f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere$,$ her $x \in \mathbb{R^+}$ için$,$
$f(x) \cdot f\left( f(x) + \dfrac{3}{2x} \right) = \dfrac{1}{4}$
olduğuna göre$,\ f(9)=?$
$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac23 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac14$
25
Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC})=50^{\circ},\ |AB|=7$ ve $|AC|=3\sqrt3$'tür. $D,\ [AB]$ üzerinde$,\ E$ ise $[AC]$ üzerinde noktalar olmak üzere$,\ |BE|+|CD|+|DE|$ toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?
$\textbf{a)}\ \sqrt{140} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{135} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{139} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{136} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{142}$