Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

$[a]$ ifadesi$,\ a$'dan büyük olmayan en büyük tam sayıyı göstermek üzere$,\ [x^2]-2x+1=0$ denkleminin tüm çözümlerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$

$20$ kişilik bir sınıfta, bir matematik testi yapılıyor. Herkesin en az bir soru çözdüğü bu sınavda, testteki her bir problem tam $13$ öğrenci tarafından çözülüyor. $20$ öğrencinin iki tanesi dışında her biri $5$'er soru çözüyor. Buna göre, farklı sayıda soru çözen son iki öğrenci arasından az sayıda soru çözen öğrenci, en az kaç soru çözmüş olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

$6!$ sayısını böldüğünde $6$ kalanı elde edilen kaç sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 12$

Terimlerinin tamamı tam sayı olan bir aritmetik dizide$,\ a_1=13$'tür. $a_1=13$ terimi ile $2013$ terimi arasında en az $100$ terim olması koşuluyla$,\ 2013$ sayısı bu dizinin en az kaçıncı terimi olabilir?

$\textbf{a)}\ 251 \qquad\textbf{b)}\ 101 \qquad\textbf{c)}\ 126 \qquad\textbf{d)}\ 121 \qquad\textbf{e)}\ 108$

$x^3+ax^2+bx+2=0$ denkleminin $x_1,x_2$ ve $x_3$ köklerinin üçü de negatif reel sayılardır. $3x_1+9x_2+4x_3=-18$ olduğuna göre$,\ x_1^2+x_2^2-x_3^2$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{79}{36} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{13}+4 \qquad\textbf{c)}\ 13+\sqrt{13} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac74 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9}{36}+\sqrt{13}$

$ABC$ eşkenar üçgeninde $[AC]$ kenarı üzerinde$E$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde $D$ noktası$,\ |AE|=|DC|$ olacak şekilde alınmıştır. $[AD]$ üzerinde$,\ [BF] \perp [AD]$ olacak şekilde de bir $F$ noktası alınıyor. $[BE]$ ile $[AD]$'nin kesiştiği nokta $N$ olmak üzere$,\ |NE|=a$ ve $|NF|=b$ ise $|AD|$'nin $a$ ve $b$ cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a+b \qquad\textbf{b)}\ a+2b \qquad\textbf{c)}\ 2a+b \qquad\textbf{d)}\ 2(a+b) \qquad\textbf{e)}\ 2a+\dfrac{\sqrt3}{2}b$

$x$ pozitif reel sayı olmak üzere$,\ \dfrac{x^3+x}{x^4+3x^3+11x^2+3x+1}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac16 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac19 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac17 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{11}$

$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$ ve $a$ kenarı karşısındaki köşe açısı $60^{\circ}$ olsun. $a=4$ ve $b=3$ ise

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 25$

$2 \cdot m(\widehat{A}) - m(\widehat{C}) = 180^{\circ}$ olan $ABC$ üçgeninde $|BC|=a,\ |CA|=b$ ve $|AB|=c$ ise $b$'nin $a$ ve $c$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{a^2-c^2}{a} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{a^2-ac} \qquad\textbf{c)}\ (\sqrt a - \sqrt c)^2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{a^2+c^2}{2c} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a(a+c)}{2c}$

Bir torbada $3$ farklı renkte bilye vardır. Mavi bilyelerin sayısı, sarı bilyelerin sayısının $2$ katı, beyaz bilyelerin sayısı da sarı bilyelerin sayısının $3$ katının $1$ fazlası kadardır. Torbadan, her alışta torbada bulunan bilyelerin sayısının $2$ katının $1$ fazlasının $3$'te biri kadar bilye alınarak, $7$ defa bilye alınıyor. $7$'nci alıştan sonra torbada bilye kalmadığına göre, torbada ilk başta kaç tane sarı bilye vardı?

$\textbf{a)}\ 115 \qquad\textbf{b)}\ 141 \qquad\textbf{c)}\ 176 \qquad\textbf{d)}\ 167 \qquad\textbf{e)}\ 182$

$|AB|=|BC|=\sqrt2|CD|$ olan $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{B})=108^{\circ},\ m(\widehat{C})=153^{\circ}$ ise $m(\widehat{A})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 45 \qquad\textbf{b)}\ 54 \qquad\textbf{c)}\ 60 \qquad\textbf{d)}\ 72 \qquad\textbf{e)}\ 75$

$\dfrac{2x}{x-1}(x^5-1)+x^6+1=0$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 6$

$(3x^2+2x+y+4z)^{10}$ açılımındaki terimlerden biri rastgele seçiliyor. Seçilen terimde $x^7$ çarpanının bulunma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{2}{13} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{13} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{15} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{15} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{12}$

$100^2+1,\ 100^2+2,\ 100^2+3,...,102^2-2,\ 102^2-1,\ 102^2$ sayılarından $100$'e bölünenlerin toplamının, kaç pozitif çift böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 22 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 27$

Kaç tane $m \in [-100,100]$ tam sayısı için$,\ m^3+m^2+11$ sayısı$,\ m^2-m+1$ sayısına tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 2$

$P(x)=36x^4-36x^3+5x^2+4x-1$ polinomunun kökleri $x_1,x_2,x_3$ ve $x_4$ olsun. Bu köklerin reel olduğu biliniyorsa

$S=(1-x_1^2)(1-x_2^2)(1-x_3^2)(1-x_4^2)$

ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac29 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac23 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac49 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac56$

$f(x)$ fonksiyonu$,\ x$ sayısının basamak sayısını göstermek üzere$,$

$f(a)+f(a^2)+f(a^3)+f(a^4)+ \cdots +f(a^{20})$

toplamı en fazla $2730$ olabiliyorsa$,\ a$ sayısı kaç basamaklıdır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 13$

$x,y$ ve $z$ pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ 7x-y+4z=7$ ise

$2x^2+x^3+z^2-y+1071$

ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1069 \qquad\textbf{b)}\ 1070 \qquad\textbf{c)}\ 1072 \qquad\textbf{d)}\ 1071 \qquad\textbf{e)}\ 1068$

$\{1,2,3,...,2012\}$ kümesinin$,$ en büyük ve en küçük elemanlarının toplamı $2013$ olan altkümelerinin sayısının $7$'ye bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 1$

Kaç tane $m \in [-1001,1001]$ tam sayısı için$,\ x$'in her reel değerinde$,$

$P(x)=x^2+1000x+m$ ve $Q(x)=x^2-1000x+m$

sayılarının en az biri pozitif olur?

$\textbf{a)}\ 1001 \qquad\textbf{b)}\ 1000 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11$

$m(\widehat{BAD})=70^{\circ}, \ m(\widehat{BDA})=52^{\circ}, \ m(\widehat{BCD})=55^{\circ}, \ m(\widehat{ACD})=29^{\circ}$ olan dışbükey $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesim noktası $E$ ise $m(\widehat{AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 93 \qquad\textbf{b)}\ 95 \qquad\textbf{c)}\ 97 \qquad\textbf{d)}\ 100 \qquad\textbf{e)}\ 102$

$n=1,2,3,...,10$ için $a_n$ sayısı$,$

$a_n=1 \underbrace{0000...0000}_{2^n-1\ \text{tane sıfır var} }1$

şeklinde tanımlansın. $A=11 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_{10}$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^9 \qquad\textbf{b)}\ 2^{10} \qquad\textbf{c)}\ 2^{11} \qquad\textbf{d)}\ 2^{12} \qquad\textbf{e)}\ 2^{13}$

Bir karenin her kenarı üzerinde, köşe noktaları olmayan $4$'er nokta işaretlenmiştir. Aynı kenar üzerinde bulunmayan herhangi iki işaretlenmiş nokta alınıyor ve bu noktalar bir doğru parçası ile birleştiriliyor. Bu parçaların herhangi üçünün ortak noktası olmasın. Bu parçaların kesişiminden ortaya çıkan noktaların toplam sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1500 \qquad\textbf{b)}\ 1564 \qquad\textbf{c)}\ 1600 \qquad\textbf{d)}\ 1624 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x^{\log_{100} x}=10x$ denkleminin tüm çözümlerinin çarpımının bir tam sayı olduğu biliniyorsa bu sayının rakamları toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 8$

Düzgün $A_1A_2...A_{12}A_{13}\ 13$-geninin merkezi $O$ noktası olmak üzere$,\ OA_1$ üzerinde $B_1,\ OA_2$ üzerinde $B_2,...,\ OA_{13}$ üzerinde $B_{13}$ noktaları$,$

$\dfrac{|OB_k|}{|OA_k|}=\dfrac{1}{k} \ , \ (k=1,2,...,13)$

sağlanacak şekilde alınmıştır. $A_1A_2...A_{12}A_{13}\ 13$-geninin alanına $A$ ve $B_1B_2...B_{12}B_{13}\ 13$-geninin alanına da $B$ denilirse $\dfrac{A-B}{A+B}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{5} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{6} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{6}{7} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{7}{8}$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2013