Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

$m,n \in \mathbb{Z}$ ve $1 \leq m < n \leq 25$ olmak üzere$,$ elde edilebilecek tüm $mn$ çarpımlarının toplamının $9$'a bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Şekilde$,\ ABCD$ bir kare ve $BE$ ile $FD$ birbirine paralel olup$,$ aralarındaki uzaklık $1$'dir.

$A(AEB)=A(BEDF)=A(FDC)$

ise karenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 13 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 11$

Bir toplulukta$,$ en az $3$ kişinin yılın aynı ayı$,$ haftanın aynı günü ve günün aynı saatinin içinde doğduğu kesin bilindiğine göre bu topluluk en az kaç kişiden oluşmaktadır?

$\textbf{a)}\ 4033 \qquad\textbf{b)}\ 2948 \qquad\textbf{c)}\ 3956 \qquad\textbf{d)}\ 4125 \qquad\textbf{e)}\ 2016$

$100$'den küçük kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için$,\ n+11$ ve $n^2+12n-6$ ifadelerinin $1$'den büyük ortak böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Aşağıdaki harf tablosunda$,$ her satırdan sadece bir harf seçilmesi ve harflerin bulunduğu karelerin mutlaka birbirine dokunması şartıyla aşağıdan yukarıya veya yukarıdan aşağıya kaç tane FERMAT kelimesi oluşturulabilir? (Bir örnek yanda verilmiştir.)

$\textbf{a)}\ 50 \qquad\textbf{b)}\ 51 \qquad\textbf{c)}\ 54 \qquad\textbf{d)}\ 58 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Pozitif tam sayılar $1$'den başlayarak artan sırada yazılıyor. $1$'i kutu içerisine alıyoruz. Daha sonra$,\ 1^2=1$ tane sayıyı atlayarak $3$'ü kutu içine alıyoruz. Bir sonraki kutu içine alınacak sayıyı da$,\ 2^2=4$ tane sayı atlayarak buluyoruz. Bu şekilde$,$ sırasıyla $3^2,4^2,...$ tane sayı atlanarak$,$ sayıları kutu içine alıyoruz. Aşağıda örnek verilmiştir.

$\boxed{1},2,\boxed{3}, \underbrace{4,5,6,7}_{2^2\ terim\ atlandı} , \boxed{8}, \underbrace{9,10,11,12,13,14,15,16,17}_{3^2\ terim \ atlandı} , \boxed{18}, \underbrace{19,...,34}_{4^2\ terim\ atlandı} , \boxed{35} , 36,...$

Buna göre$,\ 21$'inci kutunun içindeki sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2891 \qquad\textbf{b)}\ 2786 \qquad\textbf{c)}\ 2938 \qquad\textbf{d)}\ 2985 \qquad\textbf{e)}\ 2878$

$a \cdot b \cdot c \cdot d=10^5$ eşitliğini sağlayan $a,b,c,d$ doğal sayı dörtlülerinden kaç tanesi için $a \cdot b \cdot c$ çarpımı $100$'e bölünmez?

$\textbf{a)}\ 416 \qquad\textbf{b)}\ 448 \qquad\textbf{c)}\ 432 \qquad\textbf{d)}\ 464 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x(x-y^2)=y^2-76$ eşitliğini sağlayan negatif olmayan $x,y$ tam sayıları için $2x-y$'nin en küçük değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 16$

$A=\sqrt[6]{208-120\sqrt3}$ sayısının ondalık gösteriminde virgülden sonraki ilk rakam aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 7$

Doğal sayıların ikilik tabanda yazılışında sadece $1$ ve $0$ rakamları bulunur. Örneğin$,\ 5=(101)_2$'dir. $512,513,514,...,2047$ sayıları ikilik tabanda yazıldığında$,$ kaç tanesinin $0$'larının sayısı $1$'lerinin sayısından fazla olacaktır?

$\textbf{a)}\ 484 \qquad\textbf{b)}\ 516 \qquad\textbf{c)}\ 642 \qquad\textbf{d)}\ 768 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$3^{1080}-1$ sayısı iki basamaklı $\overline{aa}$ türündeki sayılardan kaçıyla tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

$x,y,z$ pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ xyz(x+y+z-4)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -1 \qquad\textbf{b)}\ -2 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ -4 \qquad\textbf{e)}\ -3$

Kenarları asal sayı ve alanı tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

$4(x^2+3x+1)^2-5(x^2+3x+1)-x=2$ denkleminin irrasyonel köklerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{-5}{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{-4}{3} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{-5}{3}$

$(x^3+2x^2-x)^{10} + (x^3+2x^2-x)^9 + \cdots + (x^3+2x^2-x)^1 =2011$ denkleminin tüm (reel ve kompleks) köklerinin kareleri toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 50 \qquad\textbf{d)}\ 40 \qquad\textbf{e)}\ 30$

Şekildeki üçgende $|BD|=|AC|=1,\ m(\widehat{BAD})=30^{\circ}$ ve $m(\widehat{DAC})=90^{\circ}$ olduğuna göre$,\ |DC|$ uzunluğunu hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \sqrt[3]{2} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt[3]{3} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt[3]{4} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt[3]{5} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{6}$

$x,y \in \mathbb{Z}$ olmak üzere$,$

$F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+2x-10y+26} + \sqrt{x^2+y^2-6x+6y+18}$

fonksiyonu en küçük değerini kaç noktada alır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 8$

$P,\ ABC$ üçgeninin içinde bir noktadır. $m(\widehat{ABC})=90^{\circ},\ |AB|=2$ ve $|BC|=3$ olduğuna göre$,$

$\sqrt2 |AP|+|BP|+|CP|$

toplamının minimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{31} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{17} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{23} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{26} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{29}$

Çözüm 1:

$ABC$ üçgeninin dışına, $[BC]$ kenarını hipotenüs olarak kabul eden $BDC$ ikizkenar dik üçgenini çizelim. $|BD| = |DC| = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ olur. $BPC$ üçgenini $C$ noktası etrafında $45^\circ$ döndürüp $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ oranında küçülterek $DEC$ üçgenini oluşturalım. Diğer bir deyişle, $BPC \sim DEC$ ve benzerliğin oranı $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olacak şekilde çizim yapıyoruz. $|AP| = a$, $|BP| = b$, $|CP| = c$ dersek $|DE| = \dfrac{b}{\sqrt{2}}$, $|CE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. $\angle PCB = \angle ECD$ olduğundan $\angle PCE = 45^\circ$'dir. Dolayısıyla $PCE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|PE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. Yani $PEC$ ikizkenar dik üçgendir. Şimdi $|AP|+|PE|+|ED|=a+\dfrac{b}{\sqrt{2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olduğunu gözlemleyebiliriz. Bu ise minimum değerini bulmak istediğimiz $a\sqrt{2}+b+c$ toplamının $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ katıdır. Dolayısıyla $|AP|+|PE|+|ED|$ toplamının minimum değerini bulup $\sqrt{2}$ ile genişletmeliyiz. $|AP|+|PE|+|ED|$ yolunun en küçük değerini bulmak için, $A$ noktasını $D$ noktası ile birleştiren en kısa yol bulunmalıdır. Bu ise $|AD|$ uzunluğudur. Matematik diliyle, $|AP|+|PE|+|ED|\geq |AD|$'dir ve eşitlik hâli sadece $A$, $P$, $E$, $D$ noktaları doğrusal iken vardır. $\angle ABD = 135^\circ$ olduğundan $ABD$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
\[|AD|^2 = 2^2 + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2\cdot 2\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \cos 135^\circ\]
olup $|AD| = \sqrt{\dfrac{29}{2}}$ bulunur. Dolayısıyla $a\sqrt{2}+b+c\geq \sqrt{2}\cdot |AD|=\sqrt{29}$ elde edilir.

Notlar:

Bu çözüme göre oluşturulan $P$ noktasının gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde olduğunu da göstermeliyiz. Bunun için $C$ noktasından $[AD]$ doğru parçasına inilen dikmenin ayağı $E$ olarak işaretlenir. Sonra $P\in [AE]$ ve $|PE| = |CE|$ olacak şekilde $P$ noktası seçilir. $P$ noktası gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde kalır.
2011 - 16. Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları bağlantısında sunduğum çözümün yeniden yazımıdır.

Çözüm 2:

Bir diğer konfigürasyon da $AC$ üzerine üçgen kurarak elde edilebilir.

$E$, $AC$ ye göre $B$ ile ters tarafta bir nokta olmak üzere;
$AE=AC$ ve $EA \perp AC$ şartlarını sağlayan bir nokta olsun.
$AEC$ ikizkenar dik üçgeninin içerisinde $\triangle AP'E \cong \triangle APC$ olacak şekilde $P'$ noktası aldığımızda, $\angle EAP' = \angle CAP$ olduğu için $\angle P'A P = \angle EAC = 90^\circ$ ve $PP' = \sqrt 2 \cdot AP$ olacaktır.
Bu durumda, $d = BP+PP'+P'E = BP + \sqrt 2 \cdot AP + CP$ en küçük değerini $B, P, P', E$ doğrusal iken alır.

$\triangle ABC \cong \triangle EDA$ olduğu için, $ED=BC=2$ ve $AD=BC=3$. Bu durumda, $BE = \sqrt {5^2 + 2^2} = \sqrt {29}$ olur.

Çözüm 3:

Bu soru için, en basit konfigürasyonu $AB$ üzerine $45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ kurduğumuzda elde ediyoruz.

$E$ ile $C$, $AB$ nin farklı taraflarında olmak üzere; $EA \perp BA$ ve $EA = BA$ olacak şekilde alınan $E$ noktası için aradığımız yanıt $CE=\sqrt {2^2 + 5^2} = \sqrt {29}$ oluyor.

Lokman Hoca'nın verdiği linkte bu sorunun literatürde Weighted Fermat Point olarak geçtiğini söylemiştik.

Daha fazla okuma için Weber Problem kaynağına başvurabilirsiniz.

Bu sorunun cevabını bulmak için$,$ seçenekleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Yeri değişmeyen seçenek doğru seçenektir.

$\textbf{a)}\ \dfrac32 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt[3]{3} \qquad\textbf{d)}\ \log_3 5 \qquad\textbf{e)}\ \log_2 3$

Her $n$ pozitif tam sayısı için$,\ n^{33p}-n$ ifadesi $33p$'ye bölünecek şekilde kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

Alper ile Burcu$,$ hiç beraberliğin olmadığı bir tür oyun oynuyorlar. Birinci oyunda kaybeden diğerine $1$ ceviz veriyor. İkinci oyunda kaybeden diğerine $2$ ceviz$,$ üçüncü oyunda kaybeden diğerine $4$ ceviz veriyor ve oyunlar bu şekilde sürdürülerek$,$ her oyunda kaybeden oyuncu$,$ diğerine bir önceki oyunda verilenin iki katı ceviz veriyor. Alper$,$ başta$,\ 591$ cevize sahipken$,$ cevizlerinin tamamını(ne eksik$,$ ne fazla) en az sayıda oyun oynayarak kaybediyor ve oyun bitiyor. Alper hangi oyunları kazanmıştır?

$\textbf{a)}\ 2,3,7,8 \qquad\textbf{b)}\ 2,6,7,8 \qquad\textbf{c)}\ 3,4,6,9 \qquad\textbf{d)}\ 4,5,7,8 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$P(x)$ bir polinom olmak üzere$,\ P(x)=x(1-x)Q(x)$ eşitliği sağlansın. Her $x \neq 0$ ve $x \neq 1$ reel sayısı için

$Q(x)=Q\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$

eşitliğinin sağlandığı biliniyorsa$,\ P(x)$ polinomunun derecesi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4$

$a_0=2,\ a_1=3$ ve her $k \geq 1$ için$,\ a_{k+1}=a_k + a_{k-1}$ şeklinde tanımlanmış $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ dizisi veriliyor.

$S=\dfrac{1}{2^1a_0} \left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) + \dfrac{1}{2^2a_1} \left(\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_3}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2^ka_{k-1}} \left(\dfrac{1}{a_k} + \dfrac{1}{a_{k+1}}\right) + \cdots$

sonsuz toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac17 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac15 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2}{11}$

Şekildeki dik üçgende$,\ |AC|=1,\ |AB|=\sqrt3$ ve $|CB|=2$'dir. $DE,\ CB$'ye paralel ve $DEF$ üçgeninin alanı $\sqrt3/8$ olduğuna göre$,\ DEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğu en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 1+2\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt5/2 \qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ 1+\sqrt6/2 \qquad\textbf{e)}\ 1+\sqrt7/2$

$a=\dfrac{10^{9900}}{10^{99}-7}$ sayısının tam kısmının son rakamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 8$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2011 Çözümleri