$m,n \in \mathbb{Z}$  ve  $1 \leq m < n \leq 25$ olmak üzere$,$ elde edilebilecek tüm $mn$ çarpımlarının toplamının $9$'a bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Şekilde$,\ ABCD$ bir kare ve $BE$ ile $FD$ birbirine paralel olup$,$ aralarındaki uzaklık $1$'dir.

                        $A(AEB)=A(BEDF)=A(FDC)$

ise karenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 11$

Bir toplulukta$,$ en az $3$ kişinin yılın aynı ayı$,$ haftanın aynı günü ve günün aynı saatinin içinde doğduğu kesin bilindiğine göre bu topluluk en az kaç kişiden oluşmaktadır?

$\textbf{a)}\ 4033  \qquad\textbf{b)}\ 2948  \qquad\textbf{c)}\ 3956  \qquad\textbf{d)}\ 4125  \qquad\textbf{e)}\ 2016$

$100$'den küçük kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için$,\ n+11$  ve  $n^2+12n-6$ ifadelerinin $1$'den büyük ortak böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 5$

Aşağıdaki harf tablosunda$,$ her satırdan sadece bir harf seçilmesi ve harflerin bulunduğu karelerin mutlaka birbirine dokunması şartıyla aşağıdan yukarıya veya yukarıdan aşağıya kaç tane FERMAT kelimesi oluşturulabilir?  (Bir örnek yanda verilmiştir.)



$\textbf{a)}\ 50  \qquad\textbf{b)}\ 51  \qquad\textbf{c)}\ 54  \qquad\textbf{d)}\ 58  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Pozitif tam sayılar $1$'den başlayarak artan sırada yazılıyor. $1$'i kutu içerisine alıyoruz. Daha sonra$,\ 1^2=1$ tane sayıyı atlayarak $3$'ü kutu içine alıyoruz. Bir sonraki kutu içine alınacak sayıyı da$,\ 2^2=4$ tane sayı atlayarak buluyoruz. Bu şekilde$,$ sırasıyla $3^2,4^2,...$ tane sayı atlanarak$,$ sayıları kutu içine alıyoruz. Aşağıda örnek verilmiştir.

                      $\boxed{1},2,\boxed{3}, \underbrace{4,5,6,7}_{2^2\ terim\ atlandı} , \boxed{8}, \underbrace{9,10,11,12,13,14,15,16,17}_{3^2\ terim \ atlandı} , \boxed{18}, \underbrace{19,...,34}_{4^2\ terim\ atlandı} , \boxed{35} , 36,...$

Buna göre$,\ 21$'inci kutunun içindeki sayı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2891  \qquad\textbf{b)}\ 2786  \qquad\textbf{c)}\ 2938  \qquad\textbf{d)}\ 2985  \qquad\textbf{e)}\ 2878$

$a \cdot b \cdot c \cdot d=10^5$  eşitliğini sağlayan $a,b,c,d$  doğal sayı dörtlülerinden kaç tanesi için $a \cdot b \cdot c$ çarpımı $100$'e bölünmez?

$\textbf{a)}\ 416  \qquad\textbf{b)}\ 448  \qquad\textbf{c)}\ 432  \qquad\textbf{d)}\ 464  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x(x-y^2)=y^2-76$  eşitliğini sağlayan negatif olmayan $x,y$  tam sayıları için $2x-y$'nin en küçük değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 16$

$A=\sqrt[6]{208-120\sqrt3}$  sayısının ondalık gösteriminde virgülden sonraki ilk rakam aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 7$

Doğal sayıların ikilik tabanda yazılışında sadece $1$ ve $0$ rakamları bulunur. Örneğin$,\ 5=(101)_2$'dir. $512,513,514,...,2047$ sayıları ikilik tabanda yazıldığında$,$ kaç tanesinin $0$'larının sayısı $1$'lerinin sayısından fazla olacaktır?

$\textbf{a)}\ 484  \qquad\textbf{b)}\ 516  \qquad\textbf{c)}\ 642  \qquad\textbf{d)}\ 768  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$3^{1080}-1$ sayısı iki basamaklı  $\overline{aa}$  türündeki sayılardan kaçıyla tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$x,y,z$  pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ xyz(x+y+z-4)$  ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -1  \qquad\textbf{b)}\ -2  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ -4  \qquad\textbf{e)}\ -3$

Kenarları asal sayı ve alanı tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

$4(x^2+3x+1)^2-5(x^2+3x+1)-x=2$  denkleminin irrasyonel köklerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{-5}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{-4}{3}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{-5}{3}$

$(x^3+2x^2-x)^{10} + (x^3+2x^2-x)^9 + \cdots + (x^3+2x^2-x)^1 =2011$  denkleminin tüm (reel ve kompleks) köklerinin kareleri toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 100  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 50  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ 30$

Şekildeki üçgende  $|BD|=|AC|=1,\ m(\widehat{BAD})=30^{\circ}$  ve  $m(\widehat{DAC})=90^{\circ}$  olduğuna göre$,\ |DC|$ uzunluğunu hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \sqrt[3]{2}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt[3]{3}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt[3]{4}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt[3]{5}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{6}$

$x,y \in \mathbb{Z}$ olmak üzere$,$

                 $F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+2x-10y+26} + \sqrt{x^2+y^2-6x+6y+18}$

fonksiyonu en küçük değerini kaç noktada alır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$P,\ ABC$ üçgeninin içinde bir noktadır. $m(\widehat{ABC})=90^{\circ},\ |AB|=2$  ve  $|BC|=3$  olduğuna göre$,$

                           $\sqrt2 |AP|+|BP|+|CP|$

toplamının minimum değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{31}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{17}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{23}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{26}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{29}$

Bu sorunun cevabını bulmak için$,$ seçenekleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Yeri değişmeyen seçenek doğru seçenektir.

$\textbf{a)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt[3]{3}  \qquad\textbf{d)}\ \log_3 5  \qquad\textbf{e)}\ \log_2 3$

Her $n$ pozitif tam sayısı için$,\ n^{33p}-n$  ifadesi $33p$'ye bölünecek şekilde kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}$

Alper ile Burcu$,$ hiç beraberliğin olmadığı bir tür oyun oynuyorlar. Birinci oyunda kaybeden diğerine $1$ ceviz veriyor. İkinci oyunda kaybeden diğerine $2$ ceviz$,$ üçüncü oyunda kaybeden diğerine $4$ ceviz veriyor ve oyunlar bu şekilde sürdürülerek$,$ her oyunda kaybeden oyuncu$,$ diğerine bir önceki oyunda verilenin iki katı ceviz veriyor. Alper$,$ başta$,\ 591$ cevize sahipken$,$ cevizlerinin tamamını(ne eksik$,$ ne fazla) en az sayıda oyun oynayarak kaybediyor ve oyun bitiyor. Alper hangi oyunları kazanmıştır?

$\textbf{a)}\ 2,3,7,8  \qquad\textbf{b)}\ 2,6,7,8  \qquad\textbf{c)}\ 3,4,6,9  \qquad\textbf{d)}\ 4,5,7,8  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$P(x)$ bir polinom olmak üzere$,\ P(x)=x(1-x)Q(x)$  eşitliği sağlansın. Her $x \neq 0$  ve  $x \neq 1$  reel sayısı için

                                         $Q(x)=Q\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$

eşitliğinin sağlandığı biliniyorsa$,\ P(x)$ polinomunun derecesi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 4$

$a_0=2,\ a_1=3$  ve her  $k \geq 1$  için$,\ a_{k+1}=a_k + a_{k-1}$  şeklinde tanımlanmış $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ dizisi veriliyor.

               $S=\dfrac{1}{2^1a_0} \left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) + \dfrac{1}{2^2a_1} \left(\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_3}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2^ka_{k-1}} \left(\dfrac{1}{a_k} + \dfrac{1}{a_{k+1}}\right) + \cdots$

sonsuz toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2}{11}$

Şekildeki dik üçgende$,\ |AC|=1,\ |AB|=\sqrt3$  ve  $|CB|=2$'dir. $DE,\ CB$'ye paralel ve $DEF$ üçgeninin alanı $\sqrt3/8$ olduğuna göre$,\ DEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğu en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 1+2\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 1+\sqrt5/2  \qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 1+\sqrt6/2  \qquad\textbf{e)}\ 1+\sqrt7/2$

$a=\dfrac{10^{9900}}{10^{99}-7}$  sayısının tam kısmının son rakamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$