Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama

$3 \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{xy} \right) =1$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç $(x,y)$ çözüm ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

$20!$ sayısının sonundaki tüm sıfırlar atılırsa$,$ son rakam ne olur?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

En fazla $5,6,7$ ve $13$ kalem alabilen $4$ kalemliğe $24$ özdeş kalem kaç değişik şekilde dağıtılabilir?

$\textbf{a)}\ 114 \qquad\textbf{b)}\ 115 \qquad\textbf{c)}\ 117 \qquad\textbf{d)}\ 118 \qquad\textbf{e)}\ 120$

$50^{20}$ sayısının farklı pozitif bölenlerinin çarpımının sonunda kaç tane $0$ vardır?

$\textbf{a)}\ 17200 \qquad\textbf{b)}\ 17220 \qquad\textbf{c)}\ 8600 \qquad\textbf{d)}\ 8630 \qquad\textbf{e)}\ 8610$

Ahsen$,$ hesap makinesinde yazdığı bir sayı$,\ 2$'den küçük olana kadar $\sqrt{\quad }$(karekök) tuşuna basıyor. Ahsen$,$ bu işlemi$,\ 1$ ile $2010$ $(1$ ve $2010$ dahil$)$ arasındaki sayıların kaçında tuşa çift sayıda basarak yapar?

$\textbf{a)}\ 1765 \qquad\textbf{b)}\ 1766 \qquad\textbf{c)}\ 1767 \qquad\textbf{d)}\ 1768 \qquad\textbf{e)}\ 1769$

Birbirinden farklı olması gerekmeyen ve toplamları $1350$ olan $23$ pozitif tam sayının EKOK'unun alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Şekilde $|AB|=13,\ |DC|=17,\ |AE|=3|ED|$ ve $|BF|=3|FC|$ olduğuna göre$,\ |EF|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8$

$p \neq 0$ olmak üzere$,\ a,b$ ve $c$ sayıları $x^3+px+1=0$ denkleminin kökleri olsunlar.

$A=\dfrac{a-2}{a+1} + \dfrac{b-2}{b+1} + \dfrac{c-2}{c+1}$

ise $A$' nın $p$ cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{9}{p} \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac{3}{p} \qquad\textbf{c)}\ -\dfrac{12}{p} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{p} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9}{p}$

$S= \dfrac{10}{10^4+10^2+1} + \dfrac{11}{11^4+11^2+1} + \dfrac{12}{12^4+12^2+1} + \cdots + \dfrac{100}{100^4+100^2+1}$

ise $2S+\dfrac{1}{10101}$ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{259} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{39} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{111} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{91} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{101}$

$a$ ve $b$ pozitif sayılar olmak üzere$,$

$a_1=\dfrac{1}{a}\ ,\ a_2=a_1+1\ ,\ a_3=a_1a_2+1\ , \ ... ,\ a_{100}=a_1a_2...a_{99}+1$ ve $a_1a_2...a_{99}a_{100} = \dfrac{1}{b}$ ise

$A=\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}}$

toplamının $a$ ve $b$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a+b \qquad\textbf{b)}\ 2a+b \qquad\textbf{c)}\ 2a-b \qquad\textbf{d)}\ a-b \qquad\textbf{e)}\ a-2b$

$1,2,3,...,50$ sayıları içinde $x^{14}-3 \equiv 0 \pmod{13}$ denkliğini sağlayan kaç sayı bulunur?

$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 11$

$\bigl \langle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \bigr \rangle$ gösterimi

$\dfrac{a_1}{5} + \dfrac{a_2}{5^2} + \dfrac{a_3}{5^3} + \dfrac{a_4}{5^4} + \dfrac{a_5}{5^5}$

toplamını ifade etmektedir. $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ rakamları $\{0,1,2,3,4\}$ kümesinden seçilmek üzere$,$ tüm $\bigl \langle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \bigr \rangle$ sayılarının oluşturduğu kümenin elemanları büyükten küçüğe sıralanıyorlar. Buna göre$,$ baştan $2222.$ sayı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \bigl \langle 1,0,1,2,3 \bigr \rangle \qquad\textbf{b)}\ \bigl \langle 1,1,2,1,0 \bigr \rangle \qquad\textbf{c)}\ \bigl \langle 2,1,1,0,2 \bigr \rangle \qquad\textbf{d)}\ \bigl \langle 1,1,1,3,0 \bigr \rangle \qquad\textbf{e)}\ \bigl \langle 1,2,1,0,3 \bigr \rangle$

$\dfrac{\sqrt{1 \cdot 2}}{2009} + \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2009} + \dfrac{\sqrt{3 \cdot 4}}{2009} + \cdots + \dfrac{\sqrt{2009 \cdot 2010}}{2009}$

sayısının ondalık yazılımında virgülden sonraki ilk basamaktaki rakam kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 0$

$n$ bir doğal sayı olmak üzere$,$

$\dfrac{1}{1!19!} + \dfrac{1}{3!17!} + \dfrac{1}{5!15!} + \cdots + \dfrac{1}{19!1!} = \dfrac{2^k}{2n+1}$

eşitliğini sağlayan $k$ tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ -1 \qquad\textbf{e)}\ -2$

Şekilde $|AB|=c\ ,\ |AC|=b$ ve $c>b$ olup$,\ D,\ [BC]$ 'nin orta noktası$;\ [AK],\ BAC$ açısının açıortayı ve $E$ noktası da $D$ nin bu açıortaya göre simetriği olsun. Buna göre$,\ A$ ile $D$ arasındaki uzaklık aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{2bc}{b+c} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{2} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{b+c}{2} \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{bc}$

$a_n$ dizisi$\ ,\ a_1=a_2=1$ ve $n \geq 2$ için $a_{n+1} - a_{n-1} = \dfrac{1}{a_n}$ şeklinde tanımlanıyor. Buna göre$,\ \dfrac{a_{99}}{a_{97}}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{99}{97} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{98}{97} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{100}{99} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{100}{97} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{101}{99}$

$ABCD$ bir ikizkenar yamuk$,\ [AB] // [DC] \ ,\ |AB|=|BC|=|AD|=5$ ve $|CD|=11$ olarak verilsin. $AEB$ üçgeninin alanı$,\ BEC$ üçgeninin alanının $5$ katı olacak şekilde$,$ aynı düzlem üzerinde seçilen bir $E$ noktası ile $D$ noktası arasındaki uzaklık en az kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt2 \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt5 \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt5$

$x > 0$ olmak üzere$,\ x- \dfrac{\sqrt{x^4+9}-3}{x}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt6(\sqrt2-1) \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6(\sqrt2+1) \qquad\textbf{c)}\ \sqrt3(\sqrt2-1) \qquad\textbf{d)}\ \sqrt3(\sqrt2+1) \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2(\sqrt3-1)$

Şekilde $|AD|=4\ ,\ |DC|=2\sqrt2$ ve $|DB|=2$ 'dir. $\widehat{A} + \widehat{B} = 60 ^{\circ}$ ise $C$ 'den $[AB]$ 'ye indirilmiş yüksekliğin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt5}{2} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt2}{3}$

Farklı olmaları gerekmeyen $100$ reel sayıdan oluşan bir kümede$,$ her sayı$,$ geriye kalan $99$ sayının toplamının $1/7$'sinden büyük olsun. Bu kümedeki negatif sayıların sayısı en az kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2010