Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2007 Çözümleri
1
$xoy$ koordinat sisteminde $1 \leq x \leq 4,\quad 1 \leq y \leq 4$ olmak üzere$,$ köşeleri tam sayı koordinatlı $(x,y)$ noktalarında bulunan kaç üçgen vardır?
$\textbf{a)}\ 528 \qquad\textbf{b)}\ 520 \qquad\textbf{c)}\ 516 \qquad\textbf{d)}\ 560 \qquad\textbf{e)}\ 544$
2
$x^4+x^2y^2+y^4=24$ ve $x^2-xy+y^2=6$ eşitliklerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $|x^3+y^3|$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
$\textbf{a)}\ 6\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt6 \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt6 \qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt2$
3
$(y-x)(y+x)=51+6y$ denkleminin tam sayılarda kaç tane $(x,y)$ çözümü vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 8$
4
$a_1=1,\ a_2=a_1+(1+2),\ a_3=a_2+(1+2+3), \dots ,\ a_n=a_{n-1}+(1+2+\cdots+n),\dots$ olmak üzere$,\ A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{40},a_{41} \}$ kümesini oluşturalım. $A$ kümesinden$,$ toplamları çift sayı olan iki eleman kaç farklı şekilde seçilebilir?
$\textbf{a)}\ 410 \qquad\textbf{b)}\ 430 \qquad\textbf{c)}\ 470 \qquad\textbf{d)}\ 490 \qquad\textbf{e)}\ 510$
5
$x^{999}-x^{666}+x^{111}$ polinomunun $x^2-x+1$ polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölümün$,$ tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ -2 \qquad\textbf{e)}\ -4$
6
$A=\dfrac{3^4+3^2+1}{3^7-3}+\dfrac{4^4+4^2+1}{4^7-4}+ \cdots +\dfrac{10^4+10^2+1}{10^7-10}$ olmak üzere$,\ A+\dfrac{1}{220}$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{6} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{8} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{10} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{12} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{14}$
7
Şekilde, bir doğruya teğet olan üç çember birbirine dıştan teğettir. Büyük çemberlerin yarıçapları $4$ ve $9$ birim olduğuna göre, küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{18}{11} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{18}{13} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{12}{7} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{36}{25}$
8
$p_1<p_2<...<p_n$ sayıları $(50!)^2$ sayısının tüm asal çarpanları olsun. $(50!)^2$ sayısının en büyük tek çarpanına bölümünden elde edilen sayı $m$ olmak üzere$,$
$n \cdot p_1^{100!}+(n-1) \cdot p_2^{100!}+ \cdots + 2 \cdot p_{n-1}^{100!}+1 \cdot p_n^{100!}$
toplamının $m$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 120 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 105$
9
Bir sayı kümesinin elemanlarının toplamına bu kümenin "ağırlığı" diyelim. Örneğin$,\ \{3,5,7\}$ kümesinin "ağırlığı" $3+5+7=15$'tir. $\{1,3,5,...,17,19\}$ kümesinin tüm alt kümelerinin "ağırlıkları" toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 51200 \qquad\textbf{b)}\ 97280 \qquad\textbf{c)}\ 41472 \qquad\textbf{d)}\ 102400 \qquad\textbf{e)}\ 25600$
10
$x+y=2(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+4})$ eşitliğini sağlayan reel $x$ ve $y$ sayıları için$,\ \sqrt{x+3}+\sqrt{y+4}$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?
$\textbf{a)}\ 2+3\sqrt2 \qquad\textbf{b)}\ 8-5\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 2+4\sqrt6 \qquad\textbf{d)}\ 5-2\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 3+3\sqrt2$
11
Bir düzlem üzerindeki $20$ doğru ve $1$ çember bu düzlemi en fazla kaç parçaya bölebilir?
$\textbf{a)}\ 241 \qquad\textbf{b)}\ 251 \qquad\textbf{c)}\ 261 \qquad\textbf{d)}\ 271 \qquad\textbf{e)}\ 281$
12
$11 \times 13$ dikdörtgeni içine$,$ altı tane eş kare şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Buna göre$,$ taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?
$\textbf{a)}\ 62 \qquad\textbf{b)}\ 64 \qquad\textbf{c)}\ 65 \qquad\textbf{d)}\ 68 \qquad\textbf{e)}\ 75$
13
$a,b,c,d$ pozitif tam sayılar ve $c>7,\ d>7$ olmak üzere$,\ a-25=c \cdot d$ ve $37a+76=b \cdot d$ eşitliklerini sağlayan en küçük $a$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$
14
$a_1,a_2,...,a_{50}$ farklı pozitif sayılar olsun. $i \neq j$ olmak üzere$,$ en az kaç tane farklı $a_i+a_j$ toplamı elde edilebilir?
$\textbf{a)}\ 95 \qquad\textbf{b)}\ 97 \qquad\textbf{c)}\ 99 \qquad\textbf{d)}\ 101 \qquad\textbf{e)}\ 105$
Çözüm:
Cevap: $\boxed B$
Genelliği kaybetmeden $a_1 < a_2 < \ldots < a_{50}$ kabul edelim. Bu durumda $a_i + a_j$ toplamında $i=1$ sabitleyerek $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50}$$ ve bununla birlikte $j=50$ sabitleyerek $$a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ eşitsizlik zincirlerinin birleşiminden görülür ki $$a_1 + a_2 < a_1 + a_3 < \ldots < a_1 + a_{50} < a_2 + a_{50} < \ldots < a_{49} + a_{50}$$ şeklinde birbirinden farklı olduğu kesin olan $\boxed{97}$ adet $a_i + a_j$ toplamı daima mevcuttur.
Tüm $a_i + a_j$ toplamlarının bu $97$ tanesinden ibaret olmasının mümkün olduğunu da görelim:
$a_n = n$ durumunu göz önüne alırsak $a_i + a_j = i+j$ olacağından en düşük toplam $a_1 + a_2 = 3$ ve en yüksek toplam $a_{49} + a_{50} = 99$ olur. $[3,99]$ aralığındaki tam sayı sayısı da $97$ olduğundan, bu durumda farklı $a_i + a_j$ toplamlarının sayısı $97$'yi aşamaz.
Sonuç olarak, her hâlükarda en az $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamı mevcut olacaktır. Bununla birlikte, tam $97$ farklı $a_i + a_j$ toplamının mevcut olmasını sağlayan bir örnek de elimizde mevcuttur. Dolayısıyla aradığımız cevap $\boxed{97}$ dir.
15
Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları$,\ |AB|>|BC|$ eşitsizliğini sağlasın. $B$'den $[AC]$ ye indirilen dikme$,\ [AC]$ yi $H$ noktasında kessin. $[AB],\ [BC]$ ve $[BH]$ parçalarından bir dik üçgen oluşturmak mümkünse $\dfrac{|AH|}{|HC|}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ \sqrt3+1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}+1 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac12 \sqrt5+\dfrac12 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2\sqrt3}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt6}{2}$
16
$A=1!(1^2+3 \cdot 1 +1)+2!(2^2+3 \cdot 2 +1)+ \cdots +222!(222^2+3 \cdot 222 +1)$ toplamının $2007$'ye bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 1003 \qquad\textbf{d)}\ 2004 \qquad\textbf{e)}\ 2006$
17
$a,b,c,d,e \in \{0,-1\}$ olmak üzere$,$
$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot 11^e$
şeklindeki tüm sayıların toplamı sadeleşmeyen kesir biçiminde yazıldığında$,$ bu kesrin payı aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 1151 \qquad\textbf{b)}\ 1152 \qquad\textbf{c)}\ 1153 \qquad\textbf{d)}\ 1154 \qquad\textbf{e)}\ 1155$
18
Bir $x$ reel sayısı için$,\ \left[x\right]$ ile$,\ x$'ten büyük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı$;\ \left[x\right]^*$ ile de$,\ x$'ten küçük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı gösterelim.
(Örneğin$,\ [5,3]=5$ ve $[5,3]^*=6$ ' dır.) Buna göre$,$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \Bigg( \bigg[\sqrt k\bigg]+\bigg[\sqrt k\bigg]^*\Bigg)$
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 1300 \qquad\textbf{b)}\ 1310 \qquad\textbf{c)}\ 1320 \qquad\textbf{d)}\ 1330 \qquad\textbf{e)}\ 1340$
19
$3,\ 5$ ve $7$ rakamları yardımıyla oluşturulan tüm $10$ basamaklı sayıların kaç tanesinde yan yana gelen üç rakamın toplamı $3$'e bölünmez?
$\textbf{a)}\ 1024 \qquad\textbf{b)}\ 1536 \qquad\textbf{c)}\ 2304 \qquad\textbf{d)}\ 3456 \qquad\textbf{e)}\ 7776$
20
Bir $ABC$ dik üçgeninde $B$ köşesinden $[AC]$ hipotenüsüne indirilmiş $[BD]$ yüksekliğini çap kabul eden çember$,\ [BA]$ kenarını $F$ noktasında ve $[BC]$ kenarını da $E$ noktasında kessin. $[BD]$ ve $[EF]$ nin kesişim noktası $G$ olsun. $|BG|^2=|BE| \cdot |BF|$ eşitliği sağlanıyorsa$,\ ABC$ üçgeninin dar açılarının büyüğü kaç derecedir?
$\textbf{a)}\ 54 \qquad\textbf{b)}\ 60 \qquad\textbf{c)}\ 72 \qquad\textbf{d)}\ 75 \qquad\textbf{e)}\ 81$