$xoy$  koordinat sisteminde  $1 \leq x \leq 4,\quad 1 \leq y \leq 4$  olmak üzere$,$ köşeleri tam sayı koordinatlı $(x,y)$ noktalarında bulunan kaç üçgen vardır?

$\textbf{a)}\ 528  \qquad\textbf{b)}\ 520  \qquad\textbf{c)}\ 516  \qquad\textbf{d)}\ 560  \qquad\textbf{e)}\ 544$

$x^4+x^2y^2+y^4=24$ ve $x^2-xy+y^2=6$ eşitliklerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $|x^3+y^3|$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 6\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt2$

$(y-x)(y+x)=51+6y$ denkleminin tam sayılarda kaç tane $(x,y)$ çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$a_1=1,\ a_2=a_1+(1+2),\ a_3=a_2+(1+2+3), \dots ,\ a_n=a_{n-1}+(1+2+\cdots+n),\dots$ olmak üzere$,\ A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{40},a_{41} \}$ kümesini oluşturalım. $A$ kümesinden$,$ toplamları çift sayı olan iki eleman kaç farklı şekilde seçilebilir?

$\textbf{a)}\ 410  \qquad\textbf{b)}\ 430  \qquad\textbf{c)}\ 470  \qquad\textbf{d)}\ 490  \qquad\textbf{e)}\ 510$

$x^{999}-x^{666}+x^{111}$ polinomunun $x^2-x+1$ polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölümün$,$ tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ -2  \qquad\textbf{e)}\ -4$

$A=\dfrac{3^4+3^2+1}{3^7-3}+\dfrac{4^4+4^2+1}{4^7-4}+ \cdots +\dfrac{10^4+10^2+1}{10^7-10}$ olmak üzere$,\ A+\dfrac{1}{220}$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{6}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{14}$

Şekilde, bir doğruya teğet olan üç çember birbirine dıştan teğettir. Büyük çemberlerin yarıçapları $4$ ve $9$ birim olduğuna göre, küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{18}{11}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{18}{13}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{12}{7}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{36}{25}$

$p_1<p_2<...<p_n$ sayıları $(50!)^2$ sayısının tüm asal çarpanları olsun. $(50!)^2$ sayısının en büyük tek çarpanına bölümünden elde edilen sayı $m$ olmak üzere$,$

     $n \cdot p_1^{100!}+(n-1) \cdot p_2^{100!}+ \cdots + 2 \cdot p_{n-1}^{100!}+1 \cdot p_n^{100!}$

toplamının $m$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 120  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 105$

Bir sayı kümesinin elemanlarının toplamına bu kümenin "ağırlığı" diyelim. Örneğin$,\ \{3,5,7\}$ kümesinin "ağırlığı" $3+5+7=15$'tir. $\{1,3,5,...,17,19\}$ kümesinin tüm alt kümelerinin "ağırlıkları" toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 51200  \qquad\textbf{b)}\ 97280  \qquad\textbf{c)}\ 41472  \qquad\textbf{d)}\ 102400  \qquad\textbf{e)}\ 25600$

$x+y=2(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+4})$ eşitliğini sağlayan reel $x$ ve $y$ sayıları için$,\ \sqrt{x+3}+\sqrt{y+4}$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 2+3\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 8-5\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 2+4\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 5-2\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 3+3\sqrt2$

Bir düzlem üzerindeki $20$ doğru ve $1$ çember bu düzlemi en fazla kaç parçaya bölebilir?

$\textbf{a)}\ 241  \qquad\textbf{b)}\ 251  \qquad\textbf{c)}\ 261  \qquad\textbf{d)}\ 271  \qquad\textbf{e)}\ 281$

$11 \times 13$ dikdörtgeni içine$,$ altı tane eş kare şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Buna göre$,$ taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?

$\textbf{a)}\ 62  \qquad\textbf{b)}\ 64  \qquad\textbf{c)}\ 65  \qquad\textbf{d)}\ 68  \qquad\textbf{e)}\ 75$

$a,b,c,d$ pozitif tam sayılar ve $c>7,\ d>7$ olmak üzere$,\ a-25=c \cdot d$  ve  $37a+76=b \cdot d$ eşitliklerini sağlayan en küçük $a$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

$a_1,a_2,...,a_{50}$ farklı pozitif sayılar olsun. $i \neq j$ olmak üzere$,$ en az kaç tane farklı $a_i+a_j$ toplamı elde edilebilir?

$\textbf{a)}\ 95  \qquad\textbf{b)}\ 97  \qquad\textbf{c)}\ 99  \qquad\textbf{d)}\ 101  \qquad\textbf{e)}\ 105$

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları$,\ |AB|>|BC|$ eşitsizliğini sağlasın. $B$'den $[AC]$ ye indirilen dikme$,\ [AC]$ yi $H$ noktasında kessin. $[AB],\ [BC]$ ve $[BH]$ parçalarından bir dik üçgen oluşturmak mümkünse $\dfrac{|AH|}{|HC|}$ oranı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \sqrt3+1  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt5}{2}+1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac12 \sqrt5+\dfrac12  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2\sqrt3}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt6}{2}$

$A=1!(1^2+3 \cdot 1 +1)+2!(2^2+3 \cdot 2 +1)+ \cdots +222!(222^2+3 \cdot 222 +1)$ toplamının $2007$'ye bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 1003  \qquad\textbf{d)}\ 2004  \qquad\textbf{e)}\ 2006$

$a,b,c,d,e \in \{0,-1\}$ olmak üzere$,$

               $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot 11^e$

şeklindeki tüm sayıların toplamı sadeleşmeyen kesir biçiminde yazıldığında$,$ bu kesrin payı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1151  \qquad\textbf{b)}\ 1152  \qquad\textbf{c)}\ 1153  \qquad\textbf{d)}\ 1154  \qquad\textbf{e)}\ 1155$

Bir $x$ reel sayısı için$,\ \left[x\right]$ ile$,\ x$'ten büyük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı$;\ \left[x\right]^*$ ile de$,\ x$'ten küçük olmayan ve $x$'e en yakın tam sayıyı gösterelim.
(Örneğin$,\ [5,3]=5$ ve $[5,3]^*=6$ ' dır.) Buna göre$,$

                         $\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \Bigg( \bigg[\sqrt k\bigg]+\bigg[\sqrt k\bigg]^*\Bigg)$

toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 1300  \qquad\textbf{b)}\ 1310  \qquad\textbf{c)}\ 1320  \qquad\textbf{d)}\ 1330  \qquad\textbf{e)}\ 1340$

$3,\ 5$ ve $7$ rakamları yardımıyla oluşturulan tüm $10$ basamaklı sayıların kaç tanesinde yan yana gelen üç rakamın toplamı $3$'e bölünmez?

$\textbf{a)}\ 1024  \qquad\textbf{b)}\ 1536  \qquad\textbf{c)}\ 2304  \qquad\textbf{d)}\ 3456  \qquad\textbf{e)}\ 7776$

Bir $ABC$ dik üçgeninde $B$ köşesinden $[AC]$ hipotenüsüne indirilmiş $[BD]$ yüksekliğini çap kabul eden çember$,\ [BA]$ kenarını $F$ noktasında ve $[BC]$ kenarını da $E$ noktasında kessin. $[BD]$ ve $[EF]$ nin kesişim noktası $G$ olsun. $|BG|^2=|BE| \cdot |BF|$ eşitliği sağlanıyorsa$,\ ABC$ üçgeninin dar açılarının büyüğü kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 72  \qquad\textbf{d)}\ 75  \qquad\textbf{e)}\ 81$