Matematik Olimpiyatlarına hazırlanan İlke şöyle bir program uyguluyor: Her gün en fazla $10$ problem çözebilen İlke$,$ $7$'den fazla problem çözdüğü günden hemen sonraki iki günde en fazla $5$'er problem çözüyor. Bu programı titizlikle uygulayan İlke$,$ $29$ günde en fazla kaç problem çözebilir?

$\textbf{a)}\ 206  \qquad\textbf{b)}\ 207  \qquad\textbf{c)}\ 204  \qquad\textbf{d)}\ 203  \qquad\textbf{e)}\ 202$

$x$ ve $y$ reel sayıları

              $ \left\{ \begin{align*}
x + \dfrac xy + y &= 8 \\
x \cdot \dfrac{x+y}{y} &= 15
\end{align*} \right.$

denklemler sistemini sağlıyorsa$,$ $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt8  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{15}$

Şekilde $E,\ A$ ve $B$ noktaları doğrusal olup$,$ $|AB|=|AC|,\ |DA|=|DC|$ ve $m(\widehat{EAC})+m(\widehat{ADC})=220^{\circ}$ dir. Bu durumda $\widehat{DCB}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 25  \qquad\textbf{e)}\ 30$

$a$ doğal sayısı $4$ ayrı asal sayının çarpımının karesi olsun. $k$ ve $n,$ $a$'nın  $k \mid n$ koşulunu sağlayan pozitif bölenleri olmak üzere$,$ $(k,n)$ ikilileri kaç tanedir? ($1$ ve $a$ sayıları da $a$'nın bölenleridir$;$ $k \mid n$ gösterimi "$k,$ $n$'yi böler" anlamındadır.)

$\textbf{a)}\ 3^6  \qquad\textbf{b)}\ 4^5  \qquad\textbf{c)}\ 5^4  \qquad\textbf{d)}\ 4^6  \qquad\textbf{e)}\ 6^4$

$\{1,2,3,4,...,20,21,22\}$ kümesinden en az kaç eleman atılmalı ki$,$ geriye kalan sayıların çarpımı bir tam kare olsun?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$x+y+z \leq a$ eşitsizliğini sağlayan her pozitif gerçel $x,y,z$ sayıları için $xyz \leq a$ eşitsizliği de sağlanıyorsa$,$ $a$ gerçel sayısına bir "iyi sayı" diyelim. En büyük "iyi sayının" karesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 26  \qquad\textbf{d)}\ 27  \qquad\textbf{e)}\ 36$

$y \leq z$ olmak üzere$,$ $x^y+x^z=x^{111t}$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümünün var olduğu biliniyorsa$,$ aşağıdakilerden hangisi sağlanmalıdır?

$\textbf{a)}\ y+z=111t  \qquad\textbf{b)}\ 111t=y+1  \qquad\textbf{c)}\ x \geq 111t  \qquad\textbf{d)}\ t\ \text{bir tek sayıdır}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Şekildeki küçük çemberin yarıçapı $\sqrt5$, büyük çemberin yarıçapı da $\sqrt{10}$'dur. Küçük çember, büyük çemberin merkezinden geçiyorsa, taralı bölgenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5 \pi}{2}-\sqrt{10}  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 5\pi -10$

Şekilde, $3$ satırı ve $20$ sütunu olan bir tablonun bir parçası gösterilmiştir. I. satırda $1$'den $20$'ye kadar, II. satırda $21$'den $40$'a kadar ve III. satırda da $41$'den $60$'a kadar doğal sayılar sırayla yazılmıştır. Şekilde gördüğünüz $x,\ y$ ve $z$ sayılarının üçü de Ayşe'nin yaşına bölünüyorsa, Ayşe'nin yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 10$

$p(x)$ ve $q(x),$ başkatsayıları $2003$ olan $2.$ dereceden farklı iki polinomdur.

              $p(3)+p(5)+p(10)=q(3)+q(5)+q(10)$

ise $p(x)=q(x)$ eşitliğini sağlayan $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 10$

$1+3+5+ \cdots +97+99$ ifadesinde en az kaç "+" işareti "-" işareti ile değiştirilmelidir ki$,$ sonuç $700$'e eşit olsun?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 10$

Kenar uzunlukları$,\ |AB|=3,\ |BC|=4$ ve $|AC|=5$ olan $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $M$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde $N$ noktaları alınmıştır. $[MN]$ parçası $ABC$ üçgeninin alanını yarıya bölüyorsa$,\ [MN]$ parçasının uzunluğu en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt2$

$x>0,\ y>0,\ z>0$ olmak üzere$,\ \dfrac{xz+zy}{x^2+y^2+18z^2}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{18}}{27}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt3}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{10}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac16$

$n+1$ ve $16n+1$ ifadelerinin ikisini de tam kare yapan $n \geq 1$ tam sayılarının sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \text{3'ten çok ama sonlu çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

$a_1=1$ ve $p$  bir asal sayı olmak üzere$,$ her $n \geq 2$ için $a_n$ dizisi $a_n=a_{n-1}+p^{n-1}$ şeklinde tanımlansın. $a_{2003}-a_{1998}$ sayısının bir tam kare olması için $p$ kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 11$

$\dfrac{3n+11+13}{11},\dfrac{3n+12+14}{12},\dfrac{3n+13+15}{13}, \cdots ,\dfrac{3n+54+56}{54},\dfrac{3n+55+57}{55}$ kesirlerinin hiçbiri sadeleşmeyecek biçimde alınmış $n$ doğal sayılarının en küçüğünün rakamlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 11$

$2002^2 \leq n \leq 2003^2$ eşitsizliğini sağlayan kaç tane $n$ doğal sayısı için $\lbrack\!\lbrack  \sqrt n   \rbrack\!\rbrack$ sayısı $n$'yi böler?
 (Burada$,\ \lbrack\!\lbrack  ...   \rbrack\!\rbrack$ tamdeğer fonksiyonudur.)

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \lbrack\!\lbrack  \sqrt{2002}   \rbrack\!\rbrack$

$ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ ve $[BC]$ dik kenarları üzerinde $D$ ve $E$ noktaları$,\ m(\widehat{BAE})=30^{\circ}$ ve $m(\widehat{BDC})=45^{\circ}$ olacak biçimde alınmıştır. $|AE|=\sqrt3$ ve $|CD|=\sqrt2$ ise $[AE]$ ve $[CD]$'nin kesişim noktası ile $[AB]$ parçası arasındaki uzaklığı bulunuz.

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2(\sqrt3-1)}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{2\sqrt3}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3\sqrt2}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2-1  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt3-1}{2}$

$\dfrac{17x-5}{6}$ ve $\dfrac{14x+5}{9}$ sayılarının ikisi de tam sayı olacak biçimde kaç tane $x$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Şekilde$,\ m(\widehat{ABC})=80^{\circ},\ m(\widehat{ACB})=55^{\circ}$ ve $|BC|=3$'tür. $D,\ [AB]$'nin ve $E$ de $[AC]$'nin orta noktaları olmak üzere$,$

$[MD] \perp [AB],\ [MB] \perp [BC],\ [NE] \perp [AC],\ [NC] \perp [BC]$

ise $|MB| \cdot |NC|$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 4 \sin{(80^{\circ})} \sin{(55^{\circ})} \qquad\textbf{e)}\ 4,5$