Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2002

$\sqrt{2000^{2002}}$ sayısının onluk sayı sisteminde yazılışında sağdan sıfırdan farklı ilk rakam nedir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 5$

$a,b \cdot c=a+b+c$ eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı $a,b$ ve $c$ rakamları için $a^2+b^2+c^2$ toplamı neye eşittir? (Burada $a,b$ ifadesi "$a$ tam onda $b$" kesrini belirtmektedir.)

$\textbf{a)}\ 55  \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 65  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 75$

İki (farklı veya eşit) asal sayının çarpımı biçiminde gösterilebilen her sayıya "iyi sayı" diyelim. $n,k \in \mathbb N$ olmak üzere$,$ $n+1,n+2,...,n+k$ sayılarının her biri "iyi sayı" ise $k$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ k\ \text{için bir üst sınır yoktur}$

Bir çember üzerinde sabit bir $A$ noktası alalım. Çember üzerinde alınan bir $B$ noktası için$,$ $AB$ kirişinin uzunluğunun yarıçap uzunluğundan büyük olma olasılığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\pi}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{\pi}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac56$

$f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu her $x,y \in \mathbb R$ için $\big( f(y) \big )^2=\dfrac12  \bigg[ f(x+y^2)-f(x)  \bigg]$ eşitliğini sağlamaktadır. $f(1) \neq 0$ olduğuna göre$,$ $f(2002)$ sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1000  \qquad\textbf{b)}\ 2001  \qquad\textbf{c)}\ 1001  \qquad\textbf{d)}\ 2000  \qquad\textbf{e)}\ 2002$

$4^{2002}+6^{2002}$ sayısının $25$ ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 2$

$50$ yapraklı bir kitabın sayfaları $1,2,3,...,99,100$ sayıları ile numaralandırılmıştır. Bu kitaptan birkaç yaprak koparılıp atıldıktan sonra$,$ geriye kalan sayfaların numaralar toplamı $4946$ olmuştur. Bu durumda$,$ en fazla kaç yaprak koparılmıştır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 6$

$[AB]$ doğru parçası çap olmak üzere$,$ bir yarım çember çizilmiş ve bu yarım çember üzerinde $C$ ve $D$ noktaları $|AC|=|CD|=2$ olacak biçimde alınmıştır. $|AB|=5$ olduğuna göre$,$ $BD$ kirişinin uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3,3  \qquad\textbf{b)}\ 3,2  \qquad\textbf{c)}\ 3,1  \qquad\textbf{d)}\ 3,4  \qquad\textbf{e)}\ 3,5$

$\left[ \dfrac{6x+5}{8}  \right]=\dfrac{15x-7}{5}$ denkleminin gerçel sayılarda çözüm kümesi kaç elemanlıdır? (Burada$,$ [  ] tamdeğer fonksiyonudur.)

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Kaç tane $p$ asal sayısı için $p^2+11$ sayısının tam $6$ tane farklı pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Yarıçapı $5$ birim olan bir çember, yarıçapı $9$ birim olan bir başka çembere $A$ noktasında içten teğettir. Büyük çember üzerinde, $|AB|=12$ birim olacak şekilde seçilen bir $B$ noktasından küçük çembere çizilen teğet parçasının uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$0,1,2,...,9999$ sayıları içinde $7$ ve $8$ rakamlarının ikisinin de kullanıldığı kaç tane sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 982  \qquad\textbf{b)}\ 964  \qquad\textbf{c)}\ 972  \qquad\textbf{d)}\ 974  \qquad\textbf{e)}\ 962$

$x>0,\ y>0,\ z>0$ olmak üzere$,$ $\dfrac{xy^2z}{x^4+y^4+z^4}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{2\sqrt2}$

$ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde bir $M$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde bir $N$ noktası alınmıştır. $[AN]$ ve $[BM]$ doğru parçalarının kesişim noktası $O$ olsun. $Alan(OMA)=1,\ Alan(OBN)=2$ ve $Alan(OAB)=3$ olduğuna göre$,$ $Alan(MNC)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{21}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{20}{11}  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{60}{31}$

Yarıçapı $2$ birim olan bir çember, bir karenin iki komşu kenarına içten teğet olup, karenin sadece bir köşesinden geçmektedir. Buna göre, karenin kenar uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 2+\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt5  \qquad\textbf{e)}\ 4-\sqrt2$

$1,2,...,999,1000$ sayıları verilsin. Bu sayılardan azalan aritmetik dizi oluşturacak şekilde kaç tane sayı üçlüsü seçilebilir? (Örneğin, $3,2,1$ ve $9,6,3$ birer azalan aritmetik dizidir.)

$\textbf{a)}\ 245500  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac13 \dbinom{500}{3}  \qquad\textbf{c)}\ 247500  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3!} \dbinom{1000}{3}  \qquad\textbf{e)}\ 249500$

$a,\ b,\ c$ gerçel sayıları $|a|\leq3,\ |b|\leq2,\ |c|\leq1$ koşullarını sağlamak üzere$,$ tüm $x^3+ax^2+bx+c=0$ denklemlerini düşünelim. Bu denklemlerden en az birini sağlayan pozitif gerçel sayıların en büyüğüne $x_0$ diyelim. $x_0$ sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ 2<x_0<3  \qquad\textbf{b)}\ 1<x_0<2  \qquad\textbf{c)}\ 0<x_0<1  \qquad\textbf{d)}\ 3<x_0<4  \qquad\textbf{e)}\ 4<x_0<5$

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[AB]$ kenarı üzerinde bir $P$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde bir $N$ noktası, $APD$, $PBN$ ve $NCD$ üçgenlerinin alanları eşit olacak biçimde alınmıştır. Buna göre, $\dfrac{|AP|}{|PB|}$ oranı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt5+1}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt5+2}{4}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac43  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt5-1}{2}$

$1$'den $99$'a kadar ($1$ ve $99$ dahil) tüm tek sayıları alalım. Bu sayıların hepsinin toplamına $A_1,$ tüm ikişerli çarpımlar toplamına $A_2,$ tüm üçerli çarpımlar toplamına $A_3,...,$ tüm $49$-arlı çarpımlar toplamına $A_{49}$ ve hepsinin çarpımına $A_{50}$ diyelim. (Örneğin, $a,b,c,d$ sayıları için ikişerli çarpımları toplamı $ab+ac+ad+bc+bd+cd$'dir.) Buna göre$,$ $A_{50}-A_{49}+A_{48}-A_{47}+ \cdots +A_2-A_1$ toplamı neye eşittir?

$\textbf{a)}\ -50!  \qquad\textbf{b)}\ 50!  \qquad\textbf{c)}\ -1  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ -2^{49} \cdot 49!$

$ \left. \begin{align*}
x^6 + 4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5 &= 0 \\
x^5 + 2x^4-x^3-5x^2-10x+5 &= 0
\end{align*} \right\}$ denklemler sisteminin gerçel çözümü $x_0$ ise $3x_0^3+7$ tam sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 16$