$n \geq 2$ pozitif bir tam sayı ve $a_1,a_2,...,a_n$ pozitif reel sayılar olmak üzere $a_1+a_2+ \cdots + a_n=1$ olsun. Aşağıdaki eşitsizliğin sağlandığını gösteriniz:
$$\dfrac{a_1}{1+a_2+a_3+ \cdots +a_n}+\dfrac{a_2}{1+a_1+a_3+ \cdots +a_n}+ \cdots + \dfrac{a_n}{1+a_1+ \cdots + a_{n-1}} \geq \dfrac{n}{2n-1}$$
(Yunanistan)
Çözüm 1:
Verilen eşitsizliği düzenlersek, $$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2-a_i}\geq \frac{n}{2n-1}$$ elde edilir. Şimdi her $x\in (0,1]$ için $\frac{x}{2-x}\geq ax+b$ olacak şekilde $a$ ve $b$ bulmaya çalışalım. $(2-x)>0$ olduğundan $$\frac{x}{2-x}\geq ax+b\iff x\geq (2-x)(ax+b)\iff ax^2+(b-2a+1)x-2b\geq 0\tag{1}$$ olmasını istiyoruz. Eşitlik durumu $a_1=a_2=\cdots=a_n=\frac{1}{n}$ olduğundan $$\frac{\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{a}{n}+b\implies a+bn=\frac{n}{2n-1}$$ şeklinde seçilmelidir.
Taktik olarak türevlerini de eşit seçebiliriz. Yani, $\frac{2}{\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}=a$, düzenlersek, $a=\frac{2n^2}{(2n-1)^2}$ elde edilir. Yukarıdaki eşitliği de kullanırsak, $b=-\frac{1}{(2n-1)^2}$ elde edilir. Şimdi $(1)$'in sağlanıp sağlanmayacağına bakalım. $$(1)\iff \frac{2n^2}{(2n-1)^2}x^2-\frac{4n}{(2n-1)^2}x+\frac{2}{(2n-1)^2}\geq 0 \iff n^2x^2-2nx+1=(nx-1)^2\geq 0$$ olur ve doğrudur. Dolayısıyla $\frac{a_i}{2-a_i}\geq \frac{2n^2a_i-1}{(2n-1)^2}$ olup, $i=1,2,\dots, n$ için yazıp toplarsak istenilen eşitsizlik elde edilir.
Çözüm 2:
$a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 1 - a_1$ olduğu için eşitsizlik aşağıdaki hale bürünür: $$S = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {a_i}{2-a_i} \geq \dfrac {n}{2n-1} \tag {1}$$
Biraz düzenlemeyle $$S = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {a_i}{2-a_i} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {a_i - 2 + 2}{2-a_i} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {2}{2-a_i} - n = 2\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {1}{2-a_i} - n \tag{2}$$ elde ederiz.
$AO \geq HO$ kullanarak $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac {1}{2-a_i} }{n} \geq \dfrac {n}{\sum\limits_{i=1}^{n} (2-a_i)} = \dfrac {n}{2n-1} \tag {3}$$
$(2)$ ile $(3)$ ü birleştirirsek $$S \geq \dfrac {2n^2}{2n-1} - n = \dfrac {n}{2n-1}$$ elde ederiz. Eşitlik durumu $a_i = \dfrac 1{n}$ iken sağlanır.