Balkan Matematik Olimpiyatı - 1984

$n \geq 2$  pozitif bir tam sayı ve  $a_1,a_2,...,a_n$  pozitif reel sayılar olmak üzere  $a_1+a_2+ \cdots + a_n=1$  olsun. Aşağıdaki eşitsizliğin sağlandığını gösteriniz:

$$\dfrac{a_1}{1+a_2+a_3+ \cdots +a_n}+\dfrac{a_2}{1+a_1+a_3+ \cdots +a_n}+ \cdots + \dfrac{a_n}{1+a_1+ \cdots + a_{n-1}} \geq \dfrac{n}{2n-1}$$

$ABCD$  kirişler dörtgeninde  $H_A,H_B,H_C$ ve $H_D$  sırasıyla $BCD,CDA,DAB$ ve $ABC$ üçgenlerinin diklik merkezleri olsun. $ABCD$ ve $H_AH_BH_CH_D$  dörtgenlerinin eş olduklarını gösteriniz.

Herhangi bir $m$  pozitif tam sayısı için$;\ 5^n$ sayısının ondalık gösterimi$,\ 5^m$ sayısının ondalık gösterimi ile bitecek şekilde bir $n$  pozitif tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.

$a,b,c$ pozitif reel sayılar olmak üzere aşağıdaki denklem sisteminin tüm $(x,y,z)$ reel çözümlerini bulunuz:
$$\begin{array}{lcl}
ax+by &=& (x-y)^2\\
by+cz &=& (y-z)^2\\
cz+ax &=& (z-x)^2
\end{array}$$