Balkan Matematik Olimpiyatı - 1985

Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninde$,\ AB$'nin orta noktası $D$ ve $ACD$ üçgeninin ağırlık merkezi de $E$ olsun. İspatlayınız ki $CD$'nin $OE$'ye dik olması için gerek ve yeter koşul $AB=AC$ olmasıdır.

$a,b,c,d \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ reel sayıları aşağıdaki şartları sağlasın :

                              $\sin a +\sin b +\sin c +\sin d =1,$

                         $\cos{2a} + \cos{2b} + \cos{2c} + \cos{2d} \geq \dfrac{10}{3}$

$a,b,c,d \in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$ olduğunu ispatlayınız.

Reel eksen üzerinde bulunan $19a+85b\ (a,b \in \mathbb N)$ şeklindeki tüm tam sayı noktalar kırmızıya$,$ geri kalan tüm tam sayı noktalar ise yeşile boyanıyor. $A$'ya göre simetrik herhangi iki tam sayı noktası farklı renklerde boyanmış olacak şekilde bir $A$ noktası olup olmadığını bulunuz.

$1985$ kişinin katıldığı bir konferansta her $3$ kişilik grupta aynı dili konuşan en az $2$ kişi vardır. Her bir katılımcının en fazla $5$ dil konuştuğu bu konferansta aynı dili konuşan en az $200$ kişi olduğunu kanıtlayın.