Balkan Matematik Olimpiyatı - 1986 Çözümleri

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve yarıçapı $r$ olsun. $I$'dan geçen bir doğru $ABC$'nin çevrel çemberini $F$ ve $G,$ iç teğet çemberini ise $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. ($D,\ I$ ve $F$'nin arasında) $DF \cdot EG \geq r^2$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitliğin ne zaman sağlanacağını belirleyiniz.

(Yunanistan)

Çözüm 1:

$O$ çevrel çember, $R$ çevrel çemberin yarıçapı, $FD=x$, $EG=y$ olsun.
Euler Teoreminden $OI^2=R^2-2Rr$.
$\triangle ODE$ de kenarortay teoreminden $OD^2+OE^2=2(OI^2+r^2)$.
$D$ ve $E$ noktalarının çevrel çemberdeki kuvvetlerinden (ya da $\triangle OFG$ ikizkenar üçgeninde Stewart'ın özel halinden) $OD^2=R^2-FD\cdot DG = R^2-x(2r+y)$ ve $OE^2=R^2-GE\cdot EF = R^2-y(2r+x)$ elde ederiz.
$OD^2+OE^2=2(R^2-2Rr+r^2)=2R^2-2r(x+y)-2xy$
$xy = -r^2+2Rr-r(x+y) = r(2R-r-x-y) =r(2R-FG+r)\geq r^2$
Eşitlik durumu için $FG$ nin çevrel çemberin çapı olması yani $I$ dan geçen doğrunun $O$ dan da geçmesi gerekir.

Sadece eşitlik durumunun sorulduğu burada işlenmiş.

Çözüm 2:

$O$ çevrel çember, $R$ çevrel çemberin yarıçapı, $FD=x$, $EG=y$ olsun.
Euler Teoreminden $OI^2=R^2-2Rr$.

$I$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetini iki türlü yazalım:
$P(I)= R^2-OI^2 = R^2-(R^2-2Rr)=2Rr$.
$P(I)=FI\cdot IG = (x+r)(y+r)=xy + r(x+y+r) = 2Rr$
$xy = r(2R-x-y-r)= r(2R-(FG-r))=r(2R-FG + r) \geq r^2$

Bir $ABCD$ dört yüzlüsünün $AB,BC,CA,DA,DB,DC$ kenarları üzerinde sırasıyla alınan $E,F,G,H,K,L$ noktaları$;$

$AE \cdot BE = BF \cdot CF = CG \cdot AG = DH \cdot AH = DK \cdot BK = DL \cdot CL$

eşitliklerini sağlıyor. $E,F,G,H,K,L$ noktalarının aynı küre üzerinde olduğunu ispatlayınız.

(Bulgaristan)

$a,b,c$ reel sayıları için $ab \neq 0$ ve $c>0$ olmak üzere$;$

$a_1=a,\ a_2=b$ ve her $n \geq 2$ için $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+c}{a_{n-1}}$ şeklinde bir $a_n$ dizisi tanımlanıyor.

İspatlayınız ki bu dizinin tüm terimlerinin tam sayı olması için gerek ve yeter koşul $a,b$ ve $\dfrac{a^2+b^2+c}{ab}$ sayılarının tam sayı olmasıdır.

(Romanya)

Düzlemde$,\ TAB,\ TBC,\ TCA$ üçgenlerinin hem alanları hem de çevreleri eşit olacak şekilde $ABC$ üçgeni ve $T$ noktası veriliyor.

$(i)$ $T$ noktası$,\ ABC$ üçgeninin içindeyse $ABC$ üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu$,$

$(ii)$ $T$ noktası$,\ ABC$ üçgeninin dışındaysa $ABC$ üçgeninin dik üçgen olduğunu

gösteriniz.

(Romanya)