$O_1$ merkezli$,\ 1$ yarıçaplı $K_1$ çemberi ile $O_2$ merkezli$,\ \sqrt2$ yarıçaplı $K_2$ çemberi $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir. $C \in K_2$ olmak üzere $AC$'nin orta noktası $K_1$ üzerindedir. $O_1O_2=2$ ise $AC$ doğru parçasının uzunluğunu bulunuz.
(Bulgaristan)
Çözüm:
$AC$ nin orta noktası $M$ olsun. $O_2M \perp AC$ dir. $O_2M$ ile $AO_1$ doğruları $K$ de kesişsin. $\triangle AMK$ dik üçgeninde $O_1A = O_1M$ olduğu için $O_1K = O_1A = O_1M$ dir.
$\triangle AKO_2$ de $O_2O_1$ kenarortayı için kenarortay teoremi uyguladığımızda $O_2A^2 + O_2K^2 = 2(AO_1^2 + O_2O_2) \Longrightarrow O_2K = 2\sqrt 2$ elde edilir. Bu aşamada Kosinüs Teoreminden $\cos \angle AO_2K$ bulunabilir. Alternatif olarak $O_2M^2 - KM^2 = AO_2 - AK^2 \Longrightarrow O_2M^2 - KM^2 = 2 - 4 = -2$ ve $O_2M + KM = 2\sqrt 2$ olduğu için $O_2M - KM = - \dfrac 1{\sqrt 2}$ olur. Taraf tarafa toplayarak $2 \cdot O_2M = \dfrac {3}{2\sqrt 2} \Longrightarrow AM = \dfrac {\sqrt {14}}{4}$ olur. Buradan $\boxed {AC = 2\cdot AM = \dfrac {\sqrt {14}}{2}}$ elde edilir.
Soruda verilen sayıların özelliğinden $O_2K$ benzerlik üzerinden de bulunabilir: $AO_1 \cdot AK = 1\cdot 2 = (\sqrt 2)^2 = AO_2^2$ olduğu için $\triangle AO_1O_2 \sim \triangle AO_2K$. Buradan da $O_2K/O_1O_2 = AO_2/AO_1 \Longrightarrow O_2K = 2\sqrt 2$ elde edilir. $\angle AO_1O_2 = \angle AO_2K$ olduğu için $\cos \angle AO_1O_2$ den sonuca gidebiliriz. $\cos \angle AO_1O_2 = \dfrac {2^2 + 1^2 - (\sqrt 2)^2}{4} = \dfrac 34$, $\sin \angle AO_1O_2 = \dfrac {\sqrt 7}{4}$. Buradan da $\dfrac {AM}{AO_2} = \dfrac {\sqrt 7}{4} \Longrightarrow AM = \dfrac {\sqrt {14}}4$.