Balkan Matematik Olimpiyatı - 1987

Bir $f : \mathbb R \to \mathbb R$  fonksiyonu $f(0)=\dfrac12$  şartını sağlıyor. $a$  bir reel sayı olmak üzere her $x,y \in \mathbb R$  için
 
          $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$

olduğuna göre $f$'in sabit fonksiyon olduğunu gösteriniz.

$x \geq 1$  ve  $y \geq 1$  reel sayılar olmak üzere$,$

$\ a=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}$  ve  $b=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$  ardışık olmayan tam sayılardır.

$b=a+2$  ve  $x=y=\dfrac54$  olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$  üçgeninde aşağıdaki eşitlik sağlanıyor :

                 $\sin^{23}{\dfrac{A}{2}} \cos^{48}{\dfrac{B}{2}} = \sin^{23}{\dfrac{B}{2}} \cos^{48}{\dfrac{A}{2}}$

$\dfrac{AC}{BC}$  oranını hesaplayınız.

$O_1$ merkezli$,\ 1$ yarıçaplı $K_1$ çemberi ile $O_2$ merkezli$,\ \sqrt2$ yarıçaplı $K_2$ çemberi $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir. $C \in K_2$ olmak üzere $AC$'nin orta noktası $K_1$ üzerindedir. $O_1O_2=2$ ise $AC$ doğru parçasının uzunluğunu bulunuz.