Balkan Matematik Olimpiyatı - 1988

Bir $ABC$ üçgeninde $AM,AN,AP$ sırasıyla yükseklik$,$ açıortay ve kenarortay olsun. $(M,N,P \in BC)$

                    $\dfrac{Alan(AMP)}{Alan(ABC)}=\dfrac14$   ve   $\dfrac{Alan(ANP)}{Alan(ABC)}=1-\dfrac{\sqrt3}{2}$

olduğuna göre $ABC$ üçgeninin açılarını bulunuz.

Her $a,b,c,d \in \mathbb R$  için

$P(a,b)P(c,d) = P(ac+bd,ad+bc)$

şartını sağlayan iki değişkenli tüm $P(x,y)$ polinomlarını bulunuz.

$P=|A_1A_2|^2 + |A_1A_3|^2 + |A_1A_4|^2 + |A_2A_3|^2 + |A_2A_4|^2 + |A_3A_4|^2$ olmak üzere

her $A_1A_2A_3A_4$ dört yüzlüsünün$;$  aralarındaki uzaklık en fazla $\dfrac12 \sqrt{\dfrac{P}{3}}$ olan iki paralel düzlem arasına yerleştirilebileceğini gösteriniz.

Bir $(a_n)_{n \geq 1} = 2^n+49$ dizisinde

$p<q,\ \ r<s,\ \ q-p=s-r$   ve   $p,q,r,s$  asal sayılar olduğuna göre$,$

$a_n=pq$  ve  $a_{n+1}=rs$ şartlarını sağlayan tüm $n$  değerlerini bulunuz.