Balkan Matematik Olimpiyatı - 1989 Çözümleri

$k \geq 4$  olmak üzere$,$  bir $n$ pozitif tam sayısının bölenleri   $1=d_1<d_2< ... <d_k=n$  olsun. 

                $n=d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$

şartını sağlayan tüm $n$  değerlerini bulunuz.

Ondalık gösterimi $\overline{a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1}a_{0}}$ olan bir asal sayı$;\ n>1$  ve  $a_n>1$  şartlarını sağlıyorsa

            $P(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ 

polinomunun  $\mathbb Z \left[x \right ]$'te indirgenemez olduğunu gösteriniz.

Ağırlık merkezi $G$ olan bir $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $B_1$ ve $C_1$ noktalarında kesen bir $d$ doğrusu veriliyor.

$A$ ve $G$ noktaları $d$ doğrusunun aynı tarafında yer aldıklarına göre$,$

           $Alan(BB_1GC_1)+Alan(CC_1GB_1) \geq \dfrac49 Alan(ABC)$

olduğunu ispatlayınız.

$\mathcal{F}$ kümesi, $\{1,2,...,n\}$ kümesinin bazı alt kümelerinden oluşan bir aile olsun ve aşağıdaki şartları sağlasın:

     $\textbf{(i)}$  $A \in \mathcal F$ ise $A,\ 3$ elemanlıdır.

    $\textbf{(ii)}$  $\mathcal F$'te bulunan birbirinden farklı $A$ ve $B$ kümelerinin kesişimleri en çok $1$ elemandan oluşur.

$\mathcal F$'nin eleman sayısının alabileceği en büyük değer $f(n)$ olmak üzere$,\ \dfrac{n^2-4n}{6} \leq f(n) \leq \dfrac{n^2-n}{6}$ olduğunu ispatlayınız.