Balkan Matematik Olimpiyatı - 1990 Çözümleri

$a_1=1,\ a_2=3$  ve her $n \in \mathbb N$  için $a_{n+2}=(n+3)a_{n+1} - (n+2)a_n$ 

olacak şekilde tanımlanan $(a_n)$  dizisinin $11$'e bölünebilen tüm terimlerini bulunuz.

$P(x)=(x+2x^2+...+nx^n)^2 = a_0+a_1x+ \cdots +a_{2n}x^{2n}$  olacak şekilde bir $P(x)$  polinomu tanımlanıyor.

                 $a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} = \dfrac{n(n+1)(5n^2+5n+2)}{24}$

olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yükseklik ayakları $A_1,B_1,C_1$ olsun. $A_1B_1C_1$ üçgeninin iç teğet çemberinin değme noktaları $A_2,B_2,C_2$ olmak üzere$;\ ABC$ ve $A_2B_2C_2$ üçgenlerinin Euler doğrularının çakışık olduğunu gösteriniz.

Aşağıdaki şartı sağlayan sonlu bir $A$ kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz :

$i,j \in \mathbb{N}^+$ ve $|i-j|$ asal sayı ise $f(i) \neq f(j)$ olacak şekilde bir $f : \mathbb{N}^+ \to A$ fonksiyonu vardır.